Wie bestimmt man die minimale Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels? [geschlossen]

Question

Wie bestimmt man die minimale Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels? [geschlossen]

El Cid

Ein physikalisches Pendel besteht aus einem dünnen homogenen langen Stab $l$ , ausgesetzt durch einen Punkt $O$ auf Abstand $x$ vom Schwerpunkt ( $x<\frac{l}{2}$ ), die in einer vertikalen Ebene schwingt. Für welchen Wert von $x$ die Schwingungsdauer ist minimal?

Ich habe Probleme, das zu lösen. Bezeichnet das Drehmoment mit $\Gamma$ und die Winkelverschiebung um $\theta$ , Wir würden haben:

Γ = ICH \ddot{θ}

$\Gamma = I\ddot\theta$

Γ = - M G X Sünde θ \approx - M G X θ

$\Gamma = -mgx\sin\theta \approx -mgx\theta$ (angesichts

θ ≪ 1

$\theta \ll 1$ )

Beide Gleichungen ergeben die ODE

\ddot{θ} + \frac{M G X}{ICH} θ = 0

$\ddot\theta+\frac{mgx}{I}\theta = 0$

Wir hätten Lösungen der Form

θ = A \cos (ω T + ϕ)

$\theta = A\cos(\omega t+\phi)$ Wo

ω = \sqrt{\frac{M G X}{ICH}}

$\omega = \sqrt{\frac{mgx}{I}}$

Die Periode ist

τ = \frac{2 π}{| ω |} = 2 π \sqrt{\frac{ICH}{M G X}}

$\tau =\frac{ 2\pi}{|\omega|} = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgx}}$

Das Trägheitsmoment $I$ wäre $\frac{ml^2}{12}+mx^2$ , durch den Parallelachsensatz. Ich habe hier aufgehört, weil ich den Wert von nicht finden kann $x$ würde den Zeitraum minimieren $\tau$ . Wie soll ich weitermachen? Wenn jemand einen anderen Ansatz kennt, um dies zu lösen, wäre es auch willkommen.

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Floris · Answer 1

Du bist wirklich nah dran. An dieser Stelle haben Sie einen Ausdruck für $\tau$ die Sie in Bezug auf minimieren müssen $x$ - Sie haben den letzten Schritt, nämlich das Schreiben, einfach nicht getan $I$ als Funktion von $x$ in diesem Ausdruck:

τ = 2 π \sqrt{\frac{ℓ^{2} / 12 + X^{2}}{G X}}

$\tau = 2\pi \sqrt{\frac{\ell^2/12 + x^2}{gx}}$

Ein Minimum/Maximum wird auftreten, wenn $\frac{d\tau}{dx}=0$ . Um Ihr Leben einfach zu halten, sollten Sie beachten, dass if $f(x)$ hat ein Maximum bei $x_0$ , Dann $\sqrt{f(x)}$ wird auch ein Maximum bei haben $x_0$ . So können wir etwas von den Flusen wegnehmen und nach dem Maximum suchen

\frac{ℓ^{2} / 12 + X^{2}}{G X}

$\frac{\ell^2/12 + x^2}{gx}$

Ich vertraue darauf, dass Sie dies bzgl. x differenzieren und das Ergebnis = 0 setzen und lösen können. Schließlich müssen Sie sich davon überzeugen, dass Sie ein Maximum gefunden haben (entweder durch Zeichnen des Diagramms oder durch Berechnen der zweiten Ableitung und Anzeigen, dass sie <0 ist).

$x=\frac{l}{2\sqrt{3}}$ . Ich habe nicht mitgenommen $2\pi$ und die Quadratwurzel, weil ich dachte, dies könnte die Ergebnisse verändern ...
Sehen Sie, warum das den Wert des Maximums ändern würde, aber nicht den Ort, an dem es auftritt? Das liegt im Grunde daran, dass die Multiplikation und die Quadratwurzelfunktion beide monoton sind – wenn die Eingabe größer ist, ist die Ausgabe größer und umgekehrt. Oder denken Sie an die Kettenregel: $f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ die eine Null hat, wenn $g'$ hat eine Null.
Eine interessante Sache, die mir später klar wurde: Das Ergebnis ist genau der Trägheitsradius des Stabes um eine Achse, die durch den Mittelpunkt verläuft. Auflösen nach einem allgemeinen starren Körper (mit $I = Mk^2 + Mx^2$ ) ergibt $x=k$ für einen Mindestzeitraum, wo $k$ ist der Trägheitsradius (in dem speziellen Beispiel $k=\sqrt{\frac{l^2}{12}}$ )

Micha · Answer 2

Vielleicht möchten Sie das Trägheitsmoment setzen

ICH (X) = A + B X^{2}

$I(x) = a + b x ^ 2$ in die Formel für

τ

$\tau$ , dann differenziere nach

x

$x$ und erfahre die

x

$x$ , wofür

\frac{D τ}{D X} = 0

$\frac{d \tau}{dx} = 0$

Woher hast du dieses Moment der Trägheit? Es ist nicht richtig; In der Tat $a$ Und $b$ sind für dieses Problem nicht einmal definiert.
Oben musste ich meine I (x) -Formel erneut bearbeiten, jemand hat sie nach meiner ersten Antwort auf Ihre Frage bearbeitet, aber er hat sich geirrt. Damit ist das sonst mögliche Extremum verschwunden -- bis heute ;-) Btw. Ich war neu hier, und wusste nicht wie ich meinen Post formatieren soll (Latex nehme ich mittlerweile an.. ). Grüße.

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