Drehimpuls in einem Stab, der sich um ein Ende dreht?

Question

Drehimpuls in einem Stab, der sich um ein Ende dreht?

Ovi

Tut mir leid, wenn ich nicht direkt auf den Punkt komme, ich muss viele Details angeben, bevor ich die Frage tatsächlich stelle.

Die Formel für den Drehimpuls lautet $L=I \omega$ . Wenn wir nach oben schauen $I$ für eine dünne Stange, die um ein Ende geschwenkt ist, erhalten wir $I=\frac 13 ML^2$ So $L=\frac 13 ML^2 \omega$ .

Jedoch, $L$ ist auch gleich $p \cdot d$ , Wo $p$ ist der lineare Impuls und $d$ ist in einiger Entfernung, also $I \omega=pd$

Meine Frage ist, warum in diesem Fall $d$ kommt heraus, was es ist $($ es ist $\frac 23 L)$

Wir können den linearen Impuls des Stabes berechnen:

Nehmen Sie den Stab an, der eine Masse hat $M$ , Länge $L$ , und eine konstante Winkelgeschwindigkeit von $\omega$ ist aufgeteilt in $n$ gleiche Stücke. Dann hat jedes Stück Masse $\frac Mn$ und einem linearen Impuls von $\frac Mn \cdot \omega r_i$ , Wo $r_i$ ist der Abstand vom Drehpunkt bis zum Ende des $i^{th}$ Segment.

Der lineare Impuls beträgt ungefähr $\sum_{i=1}^{n} \frac Mn r_i \omega$ . Wir können dies genau machen, indem wir den Grenzwert als nehmen $n$ nähert sich der Unendlichkeit. Wir haben $r_1=\frac Ln$ , $r_2=2\frac Ln$ , $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot r_i=i \cdot \frac Ln$ , also können wir dies in der Summe ersetzen:

lim_{N \to \infty} \sum_{ich = 1}^{N} (\frac{M}{N} ich \cdot \frac{R}{N} ω)

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac Mn i \cdot \dfrac Rn \omega\right)$ Seit

M

$M$ ,

ω

$\omega$ ,

R

$R$ , Und

n

$n$ für die Summation nicht relevant sind, können wir sie ausklammern:

P = M R ω lim_{N \to \infty} \frac{1}{N^{2}} \sum_{ich = 1}^{N} ich

$p=MR \omega \lim_{n \to \infty} \dfrac {1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i$

P = M R ω lim_{N \to \infty} \frac{1}{N^{2}} \frac{N (N + 1)}{2}

$p= MR \omega \lim_{n \to \infty} \dfrac {1}{n^2} \dfrac {n(n+1)}{2}$

P = \frac{1}{2} M L ω

$p=\dfrac 12 ML \omega$

Wieder haben wir

L = \frac{1}{3} M L^{2} ω = P D = \frac{1}{2} M L ω D

$L=\dfrac 13 ML^2 \omega=pd=\dfrac 12 ML \omega d$

Wenn wir auflösen $d$ , wir bekommen $d=\frac 23 L$ . Warum ist das? ich habe erwartet $d$ um ein relevanterer Punkt zu sein, wie z $L$ oder $\frac 12 L$ (weil dort der Schwerpunkt liegt. Aber warum $\frac 23$ ? Es scheint ziemlich willkürlich.

Ayesha

Warum schreiben Sie diese Summengrenzen nicht stattdessen als Integrale?

Ovi

@Ayesha Ich fühle mich nicht wohl dabei, direkt zur Integration zu gehen. Ich weiß, wie es geht, aber ich weiß, wie ich es jetzt verstehe, ist grundlegend falsch (Denken an die Differenzen als sehr kleine Größen). Mein ursprünglicher Plan war es, zu einer Riemann-Summe zu kommen, die ich in ein Integral umwandeln könnte, aber ich bin dazu gekommen.

QMechaniker

Hallo Owi. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, nehmen Sie sich bitte eine Minute Zeit, um die Definition für die Verwendung des Hausaufgaben- Tags und die Phys.SE- Richtlinie für hausaufgabenähnliche Probleme zu lesen.

Ovi

@Qmechanic Oh ok danke, ich kannte die Richtlinie nicht, ich habe sie jetzt neu markiert. Diese Seite ist viel besser als Mathe-Stackexcahnge, denn wenn Sie dort eine Frage als hw markieren, geben sie Ihnen meistens Hinweise, und ich dachte, das würde hier passieren (obwohl dies von hw inspiriert wurde, aber nicht von einer hw-Frage).

Antworten (3)

Drehimpuls in einem Stab, der sich um ein Ende dreht?

Warum schreiben Sie diese Summengrenzen nicht stattdessen als Integrale?
@Ayesha Ich fühle mich nicht wohl dabei, direkt zur Integration zu gehen. Ich weiß, wie es geht, aber ich weiß, wie ich es jetzt verstehe, ist grundlegend falsch (Denken an die Differenzen als sehr kleine Größen). Mein ursprünglicher Plan war es, zu einer Riemann-Summe zu kommen, die ich in ein Integral umwandeln könnte, aber ich bin dazu gekommen.
Hallo Owi. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, nehmen Sie sich bitte eine Minute Zeit, um die Definition für die Verwendung des Hausaufgaben- Tags und die Phys.SE- Richtlinie für hausaufgabenähnliche Probleme zu lesen.
@Qmechanic Oh ok danke, ich kannte die Richtlinie nicht, ich habe sie jetzt neu markiert. Diese Seite ist viel besser als Mathe-Stackexcahnge, denn wenn Sie dort eine Frage als hw markieren, geben sie Ihnen meistens Hinweise, und ich dachte, das würde hier passieren (obwohl dies von hw inspiriert wurde, aber nicht von einer hw-Frage).

John Alexiou · Answer 1

Es gibt zwei Teile des Drehimpulses, die beide gleichzeitig beitragen. In Vektorform (wobei × das Kreuzprodukt ist)

{\vec{H}}_{A} = {ICH}_{C M} \vec{ω} + {\vec{R}}_{A} \times M {\vec{v}}_{C M}

$\vec{H}_A = I_{cm} \vec{\omega} + \vec{r}_A \times m \vec{v}_{cm}$

Für einen horizontalen Stab, der sich um den Endpunkt A dreht, haben Sie

\begin{aligned} \vec{ω} & = (0, 0, Ω) & {\vec{v}}_{C M} & = \vec{ω} \times {\vec{R}}_{A} = (0, Ω \frac{L}{2}, 0) \\ {\vec{R}}_{A} & = (\frac{L}{2}, 0, 0) & {ICH}_{C M} & = \frac{1}{12} M L^{2} \end{aligned}

$\begin{aligned} \vec{\omega} & = (0,0,\Omega) & \vec{v}_{cm} &= \vec{\omega} \times \vec{r}_A = (0,\Omega \frac{L}{2},0) \\ \vec{r}_A & = (\frac{L}{2},0,0) & I_{cm} & = \frac{1}{12} m L^2 \end{aligned}$

Also Drehimpuls ist $H_A = \frac{m L^2 \Omega}{12} + \frac{m L^2 \Omega}{4} = \frac{m L^2 \Omega}{3}$ . Das Obige wird oft abgekürzt, indem das Trägheitsmoment um den Endpunkt definiert wird als $I_A = \frac{1}{3} m L^2$ zu erreichen

H_{A} = {ICH}_{A} Ω

$H_A = I_A \Omega$

In 3D folgt die Transformation des Trägheitstensors dem Parallelachsensatz . Weitere Informationen finden Sie in dieser Antwort: https://physics.stackexchange.com/a/88566/392 .

Sie haben also versucht, die beiden Anteile des Drehimpulses gleichzusetzen, ohne den Trägheitswert entsprechend umzuformen.

BvU · Answer 2

Gute Arbeit und gute Idee. d = L/2 würde dem Trägheitsmoment für einen Massenpunkt M im Abstand L/2 entsprechen. Impuls p = M $\omega$ /2L/2.

Was würden Sie erhalten, wenn die Masse des Stabs an den beiden Endpunkten konzentriert wäre, jeweils 1/2 M ? Ein Punkt Null, der andere M/2 $\omega$ L. Mit anderen Worten d = 1.

Die Massenverteilung entlang des Stabes spielt also eine Rolle.

Für eine Stange, die um ein Ende geschwenkt wird, haben Sie 1/3 ML $^2$ . Halbe Länge dieser Stange um ein Ende: 1/3 M/2 (L/2) $^2$ . Zwei davon würden Ihnen eine Stange geben, die um ihre Mitte schwenkt. Ich = 1/12 ML $^2$ Genau der Unterschied zwischen d = 1/2 und d = 2/3 ! Was Sie hier gefunden haben, ist die Regel für das Trägheitsmoment um eine außermittige Achse: I = I $_c$ + M d $^2$ wo ich $_c$ das Trägheitsmoment um die Achse durch den Massenmittelpunkt ist und d der Abstand zwischen dieser Achse und der (parallelen) außermittigen Achse ist.

Sammy Rennmaus · Answer 3

Was Ihr Ergebnis Ihnen sagt, ist, dass es sich um ein Punktteilchen und einen langen Stab handelt $L$ denselben linearen Impuls haben $p$ , dann ist der Drehimpuls des Stabes um ein Ende derselbe wie der Drehimpuls des Punktteilchens um eine entfernte Achse $d$ davon vorausgesetzt $d=\frac23 L$ . An diesem Ergebnis ist nichts Bemerkenswertes.

Ihre Summe sagt Ihnen, dass der lineare Impuls der Stange gleich der Masse der Stange mal der Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts ist, was nicht überraschend ist.

Drehimpuls in einem Stab, der sich um ein Ende dreht?

Ovi

Ayesha

Ovi

QMechaniker

Ovi

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John Alexiou

BvU

Sammy Rennmaus

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