Wie kann man das Trägheitsmoment berechnen?

Question

Wie kann man das Trägheitsmoment berechnen?

Iter Ator

Ich möchte die Winkelbeschleunigung eines Körpers berechnen, auf den eine Kraft wirkt $F$ wird punktuell angewendet $P$ . Die Szene ist 2D und das komplexe Objekt besteht aus vielen an Achsen ausgerichteten Rechtecken.

Ich habe den Massenmittelpunkt berechnet $O$ mit dem gewichteten Durchschnitt der Schwerpunkte der Rechtecke.

Danach der Richtungsvektor $r$ Ist $P-O$ , und das Drehmoment kann wie folgt berechnet werden: $\tau = r \times F$ , was im 2D-Fall ist: $r_x F_y - F_x r_y$

Die Winkelbeschleunigung kann wie folgt berechnet werden $\alpha = \frac{\tau}{I}$ Wo $I$ ist das Trägheitsmoment.

Hier stecke ich fest. Ich muss das Trägheitsmoment dieses Objekts berechnen. Ich habe eine Seite mit den Flächenmomenten einfacher Objekte gefunden . Es heißt, dass für ein Rechteck:

{ICH}_{X} = \frac{B H^{3}}{12}

$I_x = \frac{bh^3}{12}$

{ICH}_{j} = \frac{B^{3} H}{12}

$I_y = \frac{b^3h}{12}$

Warum hat die Trägheit einen $x$ Und $y$ Komponente? Fast alle Rechtecke meines Objekts haben einen anderen Schwerpunkt als den Ursprung. Wo werden die Positions- und Masseneigenschaften der Rechtecke bei der Berechnung des Trägheitsmoments verwendet?

Aktualisieren

Ich habe das Problem mit dieser Liste und dem Parallelachsensatz gelöst. Das Trägheitsmoment ist:

ICH = \sum_{ich \in Rechtecke} \frac{M_{ich}}{12} (H_{ich}^{2} + w_{ich}^{2}) + M_{ich} (Ö_{X} - C_{{ich}_{X}})^{2} + M_{ich} (Ö_{j} - C_{{ich}_{j}})^{2}

$I = \sum_{i \ \in \text{ rectangles}} \frac{m_i}{12}(h_i^2 + w_i^2) + m_i (O_x - C_{i_x})^2 + m_i (O_y - C_{i_y})^2$

Wo $C$ enthält die Schwerpunkte, $w$ Und $h$ die Größen u $m$ die Masse der Rechtecke.

wahrscheinlich_jemand

Das sind keine Komponenten des Trägheitsmoments, denn das Trägheitsmoment ist kein Vektor, sondern allgemein ein Tensor. Das sind die (skalaren) Trägheitsmomente, wenn das Rechteck um die gedreht wird

x

$x$ Und

y

$y$ Achsen bzw.

Benutzer197851

Diese Seite kann hilfreicher sein, wenn Sie etwas nach unten scrollen.

Iter Ator

@LonelyProf Ich habe das Trägheitsmoment der dünnen rechteckigen Platte gefunden, aber wie ändert sich das, wenn der Mittelpunkt des Rechtecks nicht im Massenmittelpunkt des vollständigen Objekts liegt?

Benutzer197851

Auf dieser Seite ist auch ein Link zum "Parallel-Axis-Theorem". Daraus solltest du es errechnen können.

John Alexiou

Diese 2D-Flächenmomente sind keine Massenträgheitsmomente (überprüfen Sie die Einheiten). Das MMOI für ein 2D-Rechteck ist

ICH = \frac{M}{12} (A^{2} + B^{2})

$I = \frac{m}{12} ( a^2+b^2)$

Iter Ator

Ich habe die Frage mit einer Lösung aktualisiert. Könnten Sie es bitte überprüfen und, wenn ich falsch liege, Hinweise geben, wie es behoben werden kann?

RW Vogel

Wo ist die Rotationsachse?

Antworten (3)

Wie kann man das Trägheitsmoment berechnen?

Das sind keine Komponenten des Trägheitsmoments, denn das Trägheitsmoment ist kein Vektor, sondern allgemein ein Tensor. Das sind die (skalaren) Trägheitsmomente, wenn das Rechteck um die gedreht wird $x$ Und $y$ Achsen bzw.
Diese Seite kann hilfreicher sein, wenn Sie etwas nach unten scrollen.
@LonelyProf Ich habe das Trägheitsmoment der dünnen rechteckigen Platte gefunden, aber wie ändert sich das, wenn der Mittelpunkt des Rechtecks nicht im Massenmittelpunkt des vollständigen Objekts liegt?
Auf dieser Seite ist auch ein Link zum "Parallel-Axis-Theorem". Daraus solltest du es errechnen können.
Diese 2D-Flächenmomente sind keine Massenträgheitsmomente (überprüfen Sie die Einheiten). Das MMOI für ein 2D-Rechteck ist $ICH = \frac{M}{12} (A^{2} + B^{2})$ $I = \frac{m}{12} ( a^2+b^2)$
Ich habe die Frage mit einer Lösung aktualisiert. Könnten Sie es bitte überprüfen und, wenn ich falsch liege, Hinweise geben, wie es behoben werden kann?

John Alexiou · Answer 1

Das Massenträgheitsmoment um das z (außerhalb der Ebene) eines 2D-Rechtecks, gemessen am Schwerpunkt, ist

ICH = \frac{M}{12} (w^{2} + H^{2})

$I = \frac{m}{12} (w^2+h^2)$ Wo

w

$w$ ist die Breite und

h

$h$ die Höhe.

Betrachten Sie also den allgemeinen Fall einer 2D-Kraft mit Komponenten $A_x$ Und $A_y$ auf einen Körper aufgebracht, sowie ein Drehmoment $\tau_A$ an einem Punkt A mit Koordinaten $x_A$ Und $y_A$ .

Die Bewegungsgleichungen verfolgen die Bewegung des Massenmittelpunkts mit Koordinaten $x_C$ Und $y_C$ sowie der Orientierungswinkel $\theta$ .

\begin{aligned} A_{X} & = M {\ddot{X}}_{C} \\ A_{j} & = M {\ddot{j}}_{C} \\ τ_{A} - A_{X} (j_{A} - j_{C}) + A_{j} (X_{A} - X_{C}) & = ICH \ddot{θ} \end{aligned}

$\begin{aligned} A_x & = m \ddot{x}_C \\ A_y & = m \ddot{y}_C \\ \tau_A-A_x (y_A-y_C) + A_y ( x_A-x_C) & = I \ddot{\theta} \end{aligned}$

Nun zur Beantwortung der allgemeineren Frage, wie man MMOI für 2D-Formen berechnet.

Angenommen, der Körper hat eine gleichmäßige Dicke $t$ in der Ebene, und definieren Sie ein kleines Volumenelement $D v = T D A$ ${\rm d}V = t\, {\rm d}A$
Die Gesamtmasse wird also aus dem Volumen unter Verwendung einer einheitlichen Dichte berechnet $\rho$ $M = \int ρ D v$ $m = \int \rho\, {\rm d}V$
Der Schwerpunkt wird mit einem ähnlichen Integral berechnet $(\begin{matrix} X_{C} \\ j_{C} \end{matrix}) = \frac{1}{M} \int ρ (\begin{matrix} X \\ j \end{matrix}) D v$ $\pmatrix{x_C \\ y_C} = \frac{1}{m} \int \rho \pmatrix{x\\y} {\rm d}V$
Schließlich ist das Massenträgheitsmoment um den Massenmittelpunkt $ICH = \int ρ (X^{2} + j^{2}) D v$ $I = \int \rho\, (x^2+y^2) {\rm d}V$

Sie können das obige verwenden, um das MMOI eines Rechtecks zu berechnen $x = -\frac{w}{2} \ldots \frac{w}{2}$ Und $y = -\frac{h}{2} \ldots \frac{h}{2}$ , mit ${\rm d}A = {\rm d}x\, {\rm d}y$

Masse $M = ρ \int_{- \frac{H}{2}}^{\frac{H}{2}} \int_{- \frac{w}{2}}^{\frac{w}{2}} T D X D j = ρ T w H$ $m = \rho \int \limits_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \int \limits_{-\frac{w}{2}}^{\frac{w}{2}} t\,{\rm d}x\, {\rm d}y = \rho\, t\, w\, h$ $ρ = \frac{M}{T w H}$ $\rho = \frac{m}{t\,w\,h}$
MMOI $ICH = ρ \int_{- \frac{H}{2}}^{\frac{H}{2}} \int_{- \frac{w}{2}}^{\frac{w}{2}} T (X^{2} + j^{2}) D X D j = ρ \frac{T w H (w^{2} + H^{2})}{12}$ $I = \rho \int \limits_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \int \limits_{-\frac{w}{2}}^{\frac{w}{2}} t\,(x^2+y^2) {\rm d}x\, {\rm d}y = \rho \frac{t\,w\,h (w^2+h^2)}{12}$ $ICH = \frac{M}{12} (w^{2} + H^{2})$ $I = \frac{m}{12} ( w^2+h^2 )$

Sie können mit dem 3D-Gehäuse wie diesem Beitrag beginnen und festlegen $z=0$ für planare Fälle. Sogar das Parallelachsentheorem gilt mit diesem Trick sowohl in 2D als auch in 3D.

Floris · Answer 2

Der Parallelachsensatz :
Gegeben das Trägheitsmoment $I_0$ eines Objekts mit Masse $m$ um seinen Massenschwerpunkt, dann das Trägheitsmoment um eine parallele Achse, die um eine (senkrechte) Strecke verschoben ist $r$ Ist $I_0 + mr^2$ .

Möglicherweise müssen Sie auch den Satz von senkrechten Achsen kennen : Für eine dünne Schicht ist das Trägheitsmoment um eine Achse durch den Massenmittelpunkt senkrecht zur Schicht gleich der Summe der Trägheitsmomente um zwei senkrechte Achsen in der Schicht Ebene. Wenn Ihr Rechteck also auf den Ursprung in der XY-Ebene zentriert ist, dann ergibt sich daraus das Trägheitsmoment um die Z-Achse $I_Z = I_X + I_Y$

Dies sollte Ihnen ermöglichen, herauszufinden, wie Sie Ihr Problem lösen können.

kamran · Answer 3

Sie müssen den Massenschwerpunkt der Komponenten berechnen, indem Sie die Summe (m1 mal dx 1 bis m_n mal dxn)/ (m1+.....+ M_n) verwenden.

Dann ist Ihre Winkelträgheit I = Summe (m * dx ^ 2 + m * dy ^ 2) + Summe des individuellen Winkelträgheitsmoments jedes Teils. Mit dx und dy meinen wir den Abstand zwischen dem Schwerpunkt jeder Komponente und dem Schwerpunkt der integrierten endgültigen Form.

Dein Drehmoment ist Fp

P ist Ihre Drehmomentstütze, muss aber an den Schwerpunkt des Systems und F an die Kraft angepasst werden.

Und Ihre Winkelbeschleunigung, Omega = I * Drehmoment.

Wie kann man das Trägheitsmoment berechnen?

Iter Ator

wahrscheinlich_jemand

Benutzer197851

Iter Ator

Benutzer197851

John Alexiou

Iter Ator

RW Vogel

Antworten (3)

John Alexiou

John Alexiou

Floris

kamran

Drehmoment an Achse und Rad

Sollte der Zusammenhang zwischen Drehmoment und Trägheitsmoment und Winkelbeschleunigung nicht τ=Iαsinθτ=Iαsin⁡θ\tau = I\alpha \sin\theta sein?

Drehimpuls und Drehmoment eines schwingenden zylindrischen Stabes

Prinzip Mechanik

Wenn ich einen Stab biege, ändert sich sein Trägheitsmoment?

Drehung eines starren Körpers - Einfaches umgekehrtes Pendel

Kinetische Energie und Rotationsbewegung

Kraft, die auf das Rad in reiner Rollbewegung am Kontaktpunkt mit der Straße aufgebracht wird [geschlossen]

Wie wende ich den Parallelachsensatz richtig auf ein Stabkugelsystem an, das sich um seinen Massenmittelpunkt dreht?

Bleibt der Drehimpuls eines Systems, dessen Trägheitsmoment sich ändert, konstant?