Bedeutung der Winkelgeschwindigkeit in einem rotierenden System

Es ist einfach.$\vec{\omega}_{[e]}$sind nicht die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit, die in dem am starren Körper selbst angebrachten Bezugssystem zu sehen sind. Wie Sie darauf hinweisen, ist diese Winkelgeschwindigkeit Null.

Es ist das Ergebnis einer mathematischen Manipulation. Sie haben eine Reihe von Beziehungen zwischen den Basisvektoren des Trägheitsrahmens und des rotierenden Rahmens, und Sie verwenden diese zum Schreiben$\vec{\omega}$in Bezug auf die Basisvektoren des rotierenden Rahmens, um die Berechnung zu vereinfachen. Die physikalische Bedeutung von$\vec{\omega}$ist immer noch die im Trägheitsbezugssystem gesehene Winkelgeschwindigkeit.

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Warum reicht hier der mathematische Formalismus zum Basiswechsel nicht aus? Denn sowohl die Änderung der Basismatrix als auch die Definition der (Winkel-)Geschwindigkeit beinhalten einen externen Parameter – die Zeit. In der Allgemeinen Relativitätstheorie werden Zeit und Raum miteinander verschmolzen, und jeder Vektor in der 4-dimensionalen Raumzeit hat sowohl zeitliche als auch räumliche Anteile. In diesem Fall transformieren sich alle Vektoren gut, wie es die Mathematik vorschreibt.

Zurück in der klassischen Mechanik gibt es aufgrund des besonderen Status der Zeit keine allgemeine Formel, die physikalische Größen mit relativer Drehbewegung von einem Koordinatensystem in ein anderes umwandelt. Die Winkelgeschwindigkeit ist jedoch ein Sonderfall. Die Transformation ist einfach wie

$$\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}'+\boldsymbol{\Omega},$$

Wo$\boldsymbol{\Omega}$ist die relative Winkelgeschwindigkeit des gestrichenen Rahmens in Bezug auf den nicht gestrichenen.

Was wir tun, wenn wir einen starren Körper in Bewegung haben, ist, dem Körper einige Koordinaten zuzuordnen, also einen Ursprung$O'$und drei Basisvektoren. Nun ist die Position eines Punktes relativ zum Ursprung eines festen Bezugssystems der Ursprung$O$Ist

$$\vec R_i= \vec{OO'}+ \vec r_i$$

Wo$\vec r_i$ist der Positionsvektor in Bezug auf den Ursprung des Körperbezugssystems$O'$.

Man kann mit Hilfe des Euler-Rotationssatzes und einfacher geometrischer Betrachtungen zeigen , dass die Geschwindigkeit eines Punktes bezüglich des festen Bezugssystems ist

$$\vec V_i = \vec V_{O'} + \Omega \vec r_i$$ Wo $\Omega$ist eine 3x3-Matrix, Rotationstensor genannt. Man kann zeigen, dass diese Matrix antisymmetrisch ist, also dürfen wir immer schreiben $$\Omega\vec b=\vec\omega\times \vec b$$ Wo $\omega$ist ein Vektor, der zugeordnet ist $\Omega$und seine Komponenten sind die unabhängigen Komponenten von $\Omega$. Das ist die Stärke dieses Formalismus $\omega$ist für alle Punkte (!) eindeutig und hängt nur von der Zeit ab. Es handelt sich also um eine momentane Rotationswinkelgeschwindigkeit .

In dem am starren Körper angebrachten Referenzrahmen sehen wir also keine Drehung eines Punktes, und das ist aufgrund der Steifigkeitsbeschränkung intuitiv. In der Tat, wenn wir schreiben wollten$V_i$in der an den Körper angehängten Referenz hätten wir einfach$\vec r_i=\vec 0 \Rightarrow \vec V_i = \vec 0$. Daher ruhen alle Punkte in diesem Bezugssystem.

Wenn Sie sagen "Wir wollen eine schnelle Formel für die kinetische Rotationsenergie", meinen Sie wohl

$$E_R = \frac {1}{2} I\omega^2$$ . Nun wissen wir für jedes mechanische System aus dem Koenig-Theorem , dass die gesamte kinetische Energie eines Systems die Traslationsenergie des Massenzentrums + die Energie in Bezug auf das Massenzentrum ist. Im Fall eines starren Körpers, dem die Verschiebung eines Punktes in Bezug auf einen anderen auf dem Körpervolumen verboten ist, ist die einzig mögliche "innere" kinetische Energie die Rotationsenergie: $E_R$Wo $I$ist das Trägheitsmoment. Wenn wir uns in den Referenzrahmen versetzen, der am starren Körper befestigt ist, und als Ausgangspunkt den Massenschwerpunkt nehmen, haben wir nur den "inneren" kinetischen Energieterm ohne die Translationsenergie des Massenschwerpunkts. Fortsetzen: $$Koenig: \ \ \ K_{TOT}=Mv_C^2/2+\int_V dm v_i^2/2$$ $$Rigid body:\ \ \ \int_V dm V_i^2/2 = \int dm |\vec v_C + \vec\omega\times\vec r^{(C)} |^2/2$$

$$RF\ with\ origin\ in\ C:\ \ \ \int dm |\vec v_C + \vec\omega\times\vec r^{(C)} |^2/2= \int dm |\vec r^{(C)}|^2 \omega^2/2 = I_{C}\omega^2/2$$ Wo $r^{(C)}$ist die Position des Massenelements $dm$bezogen auf den Massenmittelpunkt. Endlich, endlich: $$K_{TOT}=M v_C^2+I_C\omega^2/2$$ Wo $\omega$ist für ein gegebenes gut definiert $t$und ist für alle Punkte gleich. Moral: Sie brauchen keinen rotierenden Bezugsrahmen, um eine "einfache" Form für die kinetische Energie eines starren Körpers zu haben. Ich hoffe das hilft.