Gleichung für Linearbeschleunigung vs. Winkelbeschleunigung

Sie haben einen Fehler gemacht, indem Sie angenommen haben, dass die Winkelbeschleunigung ($\alpha$) ist gleich$v^2/r$was eigentlich die Zentripetalbeschleunigung ist . In einfachen Worten ist die Winkelbeschleunigung die Änderungsrate der Winkelgeschwindigkeit, die ferner die Änderungsrate des Winkels ist$\theta$. Dies ist der Definition der linearen Beschleunigung sehr ähnlich.

Wie die lineare Beschleunigung ist$F/m$, die Winkelbeschleunigung ist in der Tat$\tau/I$,$\tau$wobei das Drehmoment und ich das Trägheitsmoment (äquivalent zur Masse) sind.

Ich bin auch verwirrt darüber, was genau 'V' (Tangentialgeschwindigkeit) darstellt und wie es verwendet wird. Ist es ein Vektor, dessen Größe gleich der Anzahl der Bogenmaße ist, um die sich jeder Punkt auf einem Polygon drehen sollte?

Die Tangentialgeschwindigkeit eines Körpers, der sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegt, ist gleich seiner gewöhnlichen Geschwindigkeit. Der Name kommt von der Tatsache, dass diese Geschwindigkeit entlang der Tangente zum Kreis (der Bewegungsbahn des Körpers) liegt. Seine Größe ist gleich der Geschwindigkeit, mit der es sich entlang des Kreises bewegt. Geometrisch kann man das zeigen$v = r\omega$.

$a_c = \frac{v^2}{r}$ist keine Winkelbeschleunigung. Es ist die Größe der linearen Beschleunigung in Richtung der Mitte eines Objekts, das einer kreisförmigen Bahn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit folgt. Die Winkelbeschleunigung ist die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit, und das Analogon des zweiten Newtonschen Gesetzes ist, dass die Winkelbeschleunigung gleich dem Drehmoment geteilt durch das Trägheitsmoment ist.

Beginnen Sie immer mit den Einheiten. Sie werden Ihnen viel über die Gleichungen erzählen und Ihnen ermöglichen, Konsistenzfehler zu beheben. Deshalb ziehe ich übrigens bei Ableitungen die Leibnizsche Schreibweise der Newtonschen vor, die Einheiten werden sofort durch die Untersuchung der Ableitung bestimmt, z$dx/dt$hat Einheiten der Entfernung über der Zeit, wobei die übliche Definition von angenommen wird$x$Und$t$.

In diesem Fall ist der Winkel$\theta$, ist das Äquivalent der zurückgelegten Strecke in der linearen Kinematik und hat die Einheit Radiant (${rad}$). (Das Bogenmaß, das weniger Einheiten hat, ist in gewissem Maße ein Platzhalter, aber Platzhalter können sehr nützlich sein, also behalten Sie sie im Hinterkopf.) Also, dann die Änderungsrate des Winkels in Bezug auf die Zeit,$\omega$, hat die Einheiten von${rad}/s$. Winkelbeschleunigung,$\alpha$, hat dann Einheiten von${rad}/s^2$.

Mit diesen im Hinterkopf können Sie das sofort sagen$a_c = \frac{v^2}{r}$ist keine Winkelbeschleunigung, sondern eine lineare Beschleunigung, wie von Peter beschrieben . Ebenso steht die Winkelbeschleunigung nicht in direktem Zusammenhang mit der Kraft, sondern mit dem Drehmoment,$\tau = I \alpha$, Wo$I$ist das Trägheitsmoment. (Mathematisch gesehen ist das Trägheitsmoment das zweite Moment der Massenverteilung, wobei der Massenschwerpunkt das erste Moment ist.) Das Drehmoment hat die Einheiten${kg}\ m^2/s^2$, wo das Bogenmaß fallen gelassen wurde. Beachten Sie, dass es Energieeinheiten hat, oder$(Force)(distance)$, Und$\tau = r \times F$.

Auf jeder einzelnen Parameterkurve in$\mathbb{R}^n$,$n\geq2$, liegt die Ableitung nach diesem Parameter immer tangential zur Kurve. Die Ableitung zeigt uns buchstäblich, wie sich die Position ändern wird. Aus physikalischer Sicht können Sie sich dies so vorstellen, als würden Sie die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren an das sich bewegende Objekt selbst anhängen, wie beim Zeichnen eines Freikörperdiagramms.

Genauer gesagt, für eine gleichmäßige kreisförmige Bewegung ist die Position

Wo$R$ist der Radius des Kreises,$\hat{i}$Und$\hat{j}$sind die Einheitsvektoren in der$x$Und$y$Richtungen bzw. und die Geschwindigkeit ist

Beachten Sie, dass die Geschwindigkeit senkrecht zur Position ist, was eine Eigenschaft der Kreisbewegung ist. Daraus sollten Sie mathematisch nachweisen können, dass die Beschleunigung senkrecht zur Geschwindigkeit und antiparallel zur Position ist. Ich überlasse Ihnen das Problem zu verstehen, warum dies auch physikalisch sinnvoll ist.