Komponenten der Winkelgeschwindigkeit?

Lassen ω → = ( ω 1 , ω 2 , ω 3 ) sei die Winkelgeschwindigkeit eines starren Körpers in Bezug auf den Körperrahmen, wobei der Körperrahmen rechtshändig orthonormal ist.

Ich habe 2 Definitionen von gesammelt ω → aus verschiedenen Quellen und ich bin verwirrt darüber, wie sie miteinander verbunden sind. Zum einen dreht sich der starre Körper mit ω → durch seinen Massenmittelpunkt mit Rate A B S ( ω → ) . Die andere ist, dass jede Komponente von ω → stellt die Geschwindigkeit dar, mit der sich der starre Körper um diese bestimmte Basisachse des Körperrahmens dreht.

Bedeutet dies, dass wir die 3 Drehungen (die sich um verschiedene Achsen drehen) irgendwie addieren und eine äquivalente Drehung um eine andere (einzelne) Achse erhalten können?

Antworten (1)

Bedeutet dies, dass wir die 3 Drehungen (die sich um verschiedene Achsen drehen) irgendwie addieren und eine äquivalente Drehung um eine andere (einzelne) Achse erhalten können?

Ja. Dies ist eine von vielen Konsequenzen des Rotationssatzes von Euler . Dieser nette kleine Trick, die Euler-Rotationsachse zu finden, funktioniert im dreidimensionalen Raum und nur im dreidimensionalen Raum. Die Lie-Gruppe SO(3) ist ein ganz besonderer Raum.

Eine allgemeinere Betrachtungsweise der Drehung ist, dass die Drehung in jedem euklidischen Raum eine Kombination von Drehungen parallel zu einer zweidimensionalen Ebene und nicht um eine Achse umfasst. Es gibt nur eine Ebene im zweidimensionalen Raum, daher erfordert die Drehung im 2D-Raum nur einen Parameter. Es gibt drei Rotationsebenenpaare im dreidimensionalen Raum (die YZ-, ZX- und XY-Ebenen), sodass die Rotation im 3D-Raum drei Parameter erfordert. Sie können sich diese planaren Drehungen als Bewegungen um eine Achse vorstellen (mit einer willkürlichen Entscheidung, was als positive oder negative Drehung gilt). Es gibt sechs Rotationsebenen im vierdimensionalen Raum, sodass Rotationen im 4D-Raum sechs Parameter erfordern. Dies kann zu etwas sehr Seltsamem führen, etwas, das Sie im 2D- oder 3D-Raum nicht sehen, eine Clifford-Rotation.


Quelle: http://eusebeia.dyndns.org/4d/vis/10-rot-1

Danke. Was ich nicht verstehe, ist, wie sich Eulers Winkel mit w (t) verbinden. Sagen wir w(t)=[w1(t),w2(t),w3(t)] und jede Komponente stellt dar, wie sich w(t) entlang dieser Richtung (der Basisachse) ändert, und sie sagen uns sicherlich NICHT etwas darüber Rotation um diese Achsen. Das heißt, die Drehung ist immer um w(t), das sich selbst bewegt. Aber dann kommen Eulers Winkel herein und w hängt jetzt von 3 anderen Winkeln (a,b,c) ab, die selbst einige andere Rotationen sind (also auch Funktionen der Zeit). Warum ist dann w(t) = w(a,b,c)? Konzeptionell erscheinen sie mir völlig irrelevant.
@MartinCheung Ich fürchte, dass keine dieser Antworten richtig ist. Ich bin mir nicht sicher, ob die drei Projektionen von ω → bedeuten, dass es eine Rotation mit gibt ω X um die Achse X , mit ω j um die Achse j , und mit ω z um die Achse z .
@Sofia - Ihr Kommentar ist zumindest im dreidimensionalen Raum völlig falsch. Man kann Rotationen im 3D-Raum als intrinsisch oder extrinsisch betrachten. Der intrinsische Standpunkt führt zu Euler-Winkeln, Tait-Bryan-Winkeln, Kardanwinkeln und anderen Übeln. Die äußere Sichtweise ist ebenfalls böse, aber sie ist ein geringeres Übel. Diese Sichtweise führt dazu, dass die Winkelgeschwindigkeit als Vektor (besser als Pseudovektor) mit unterschiedlichen Komponenten in jeder orthogonalen Richtung betrachtet wird.
@MartinCheung - Sie müssen rechnen, um zu sehen, warum dies im 3D-Raum funktioniert (und das tut es mit Sicherheit). Menschen können und bauen Geräte, die diese Komponenten der Winkelgeschwindigkeit erkennen. Wir wären nicht in der Lage, Raumfahrzeuge zu betreiben, wenn es diese Geräte nicht gäbe.
@DavidHammen: Stimmt das, dass eine Drehung um einen Winkel durchgeführt wird? ω X um die Achse X , dann um einen Winkel ω j um die Achse j , und dann um einen Winkel ω z um die Achse z , bekommen wir nämlich eine Rotation durch | ω → | um die Achse ω → ? Ist das wahr? Bei den Euler-Winkeln arbeiten wir anders, und meines Wissens bekommt man nicht das gleiche Ergebnis, wenn man die Drehungen in einer anderen Reihenfolge durchführt.
@Sofia - Sie fragen hier nach etwas ganz anderem. Bei dieser Frage geht es um die Winkelgeschwindigkeit, nicht um eine Folge von Rotationen im dreidimensionalen Raum. Rotationen im dreidimensionalen Raum pendeln nicht. Die Winkelgeschwindigkeit pendelt.
@DavidHammen Hallo! Erzählst du mir besser zuerst, wie war dein Tag? Gestern wurdest du bedrängt. Als nächstes scheine ich hier tatsächlich etwas zu vermischen. Um die Gesamtdrehung zu finden, multipliziere ich die drei Drehungen, während ich für die Winkelgeschwindigkeit die drei Komponenten addiere. Aber kommen wir zur Physik für morgen, in meinem Land ist es sehr spät. Also? Wie war Ihr Tag?
@Sofia - Das wäre vielleicht besser im Chat.
@DavidHammen, nein bitte, lass es für morgen. Ich hätte schon ein paar Stunden schlafen sollen. Gute Nacht.
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