Die Winkelgeschwindigkeit

Angesichts eines zentralen Punkts$\vec c_1$, die Geschwindigkeit dieses Punktes$\vec v_{c_1}$in Bezug auf einen Bezugsrahmen und eine Winkelgeschwindigkeit$\vec\omega$, die Geschwindigkeit eines anderen Punktes$\vec x$auf einem starren Körper ist$\vec v_x = \vec v_{c_1} + \vec\omega \times (\vec x - \vec c_1)$.

Was wäre, wenn ein anderer Punkt$\vec c_2$wird als zentraler Punkt gewählt? Der Ausdruck für die Geschwindigkeit des Punktes$\vec x$wird$\vec v_x = \vec v_{c_2} + \vec\omega \times (\vec x - \vec c_2)$, Wo$\vec v_{c_2} = \vec v_{c_1} + \vec\omega \times (\vec c_2 - \vec c_1)$. Die Winkelgeschwindigkeit ändert sich nicht. Es ist dasselbe, egal welchen Punkt man als zentralen Punkt wählt. Die Winkelgeschwindigkeit ist ein freier Vektor.

Update, weil das Obige anscheinend für einige nicht zufriedenstellend ist

Ein starrer Körper ist ein Objekt, für das ein Referenzrahmen existiert, so dass die Position jedes Punktes auf dem starren Körper aus der Perspektive dieses Rahmens konstant ist. Mit anderen Worten,$(\frac {d\boldsymbol x}{dt})_F = 0$für jeden Punkt$x$im starren Körper, wobei die Ableitung aus der Perspektive des festen Rahmens genommen wird$F$.

Angenommen, irgendwann$t$Sie kennen den Standort$\boldsymbol X(\boldsymbol c,t)$eines Fixpunktes$\boldsymbol c$auf dem starren Körper in einem anderen Bezugssystem$I$. Die Position des Punktes$\boldsymbol x$in diesem anderen Rahmen bezieht sich auf die Position des Punktes$\boldsymbol c$über

$$\boldsymbol X(\boldsymbol x,t) = \boldsymbol X(\boldsymbol c,t) + \boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)(\boldsymbol x - \boldsymbol c) \tag{1}$$ Wo $\boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)$ist die Rotationsmatrix, die Koordinaten aus dem Frame transformiert $F$einrahmen $I$.

Angenommen, Sie kennen einen anderen Punkt$\boldsymbol c'$, ebenfalls fest in Bezug auf den starren Körper. Die Position des Punktes$\boldsymbol c'$im nicht fixierten Rahmen ist

$$\boldsymbol X(\boldsymbol c',t) = \boldsymbol X(\boldsymbol c,t) + \boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)(\boldsymbol c' - \boldsymbol c)\tag2$$ Die Position des Punktes $\boldsymbol x$im nicht fixierten Rahmen kann in Bezug auf neu ausgedrückt werden $\boldsymbol c'$: $$\boldsymbol X(\boldsymbol x,t) = \boldsymbol X(\boldsymbol c',t) + \boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)(\boldsymbol x - \boldsymbol c') \tag{3}$$ Ableitung der Gleichungen (1) und (3) nach Zeit ergibt $$\dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol x,t) = \dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol c,t) + \dot{\boldsymbol{\mathrm R}}_{F\to I}(t)(\boldsymbol x - \boldsymbol c) = \dot{\boldsymbol X}(\boldsymbol c',t) + \dot {\boldsymbol{\mathrm R}}_{F\to I}(t)(\boldsymbol x - \boldsymbol c') \tag4$$ Die zeitliche Ableitung einer Transformationsmatrix $\boldsymbol{\mathrm R}(t)$von einem kartesischen Rahmen zu einem anderen kann als Produkt dieser Matrix und einer schiefsymmetrischen Matrix geschrieben werden: $$\dot{\boldsymbol{\mathrm R}}(t) = \boldsymbol{\mathrm R}(t) \boldsymbol{\mathrm S}(t)$$ Dies gilt für einen euklidischen Raum beliebiger Dimensionalität. Im dreidimensionalen Raum (und nur im dreidimensionalen Raum) kann eine solche schiefsymmetrische Matrix auf und von einem dreidimensionalen Pseudovektor abgebildet werden: $$\dot{\boldsymbol{\mathrm R}}(t) = \boldsymbol{\mathrm R}(t) \operatorname{Sk}(\boldsymbol\omega(t))$$ Umschreiben von Gleichung (4) in Bezug auf diesen Pseudovektor, $$\dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol x,t) = \dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol c,t) + \boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)\left(\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol x - \boldsymbol c)\right) = \dot{\boldsymbol X}(\boldsymbol c',t) + \boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)\left(\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol x - \boldsymbol c')\right)\tag5$$ Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man einen nicht fixierten Rahmen wählen, der sofort mit dem fixierten Rahmen zur Zeit ko-ausgerichtet ist $t$. Damit reduziert sich Gleichung (5) auf $$\dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol x,t) = \dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol c,t) + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol x - \boldsymbol c) = \dot{\boldsymbol X}(\boldsymbol c',t) + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol x - \boldsymbol c')\tag6$$ Dies ist natürlich identisch mit dem, was ich ursprünglich geschrieben habe.

Diese als schiefsymmetrische Matrix ausgedrückte Winkelgeschwindigkeit ist dieselbe, unabhängig davon, welchen Punkt man als Ursprung wählt, und gilt in allen euklidischen Räumen, in denen die Zeit der unabhängige Parameter der Bewegung ist. Die Winkelgeschwindigkeit bezieht sich auf die zeitliche Ableitung der Transformationsmatrix, und das Ändern von Ursprüngen ändert die Transformationsmatrix in einer affinen Transformation nicht (z. B. sind die Gleichungen (1) bis (3) affine Transformationen).

Diese als Pseudovektor ausgedrückte Winkelgeschwindigkeit ist die gleiche, unabhängig davon, welchen Punkt man als Ursprung wählt, gilt nur in dreidimensionalen euklidischen Räumen, in denen die Zeit der unabhängige Parameter der Bewegung ist. Diese Spezialisierung ist ziemlich wichtig, weil wir offensichtlich in einem Universum leben, das lokal wie ein dreidimensionaler euklidischer Raum mit Zeit als unabhängigem Bewegungsparameter erscheint. Mit anderen Worten, wir leben in einem Universum, in dem die Newtonsche Mechanik lokal gültig ist. Dies ist der Kontext, in dem diese Frage gestellt wurde und in dem ich diese Antwort geschrieben habe.

Ist die Winkelgeschwindigkeit eines starren Körpers um jeden Punkt gleich der um die Rotationsachse?

Die Winkelgeschwindigkeit wäre für andere Referenzpunkte nicht dieselbe.

Dies liegt daran, dass die Rotationsachse der einzige Ort im Raum ist, zu dem jeder Punkt eines starren Körpers während der gesamten Rotation den gleichen Abstand (Rotationsradius) und daher das gleiche Verhältnis zwischen der Linear- und der Winkelgeschwindigkeit beibehält.

Da sich der Rotationsradius für jeden anderen Bezugspunkt ändert, ändert sich auch das Verhältnis zwischen Linear- und Winkelgeschwindigkeit, so dass bei gleichen Lineargeschwindigkeiten die Winkelgeschwindigkeiten unterschiedlich sein müssten.

Können wir auch Winkelbegriffe (Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung usw.) um eine andere Achse als die Rotationsachse definieren?

Laut Wikipedia ist „die Winkelgeschwindigkeit eines Teilchens die Geschwindigkeit, mit der es sich um einen gewählten Mittelpunkt dreht“.

Wenn wir keine anderen Einschränkungen auferlegen, gibt es keinen offensichtlichen Grund, warum die Winkelgeschwindigkeit nicht relativ zu einem festen Punkt im Raum gemessen werden kann. Wenn dieser Punkt nicht fixiert wäre, würde das Definieren und Messen des Winkels zwischen aufeinanderfolgenden Radien problematisch werden. Nach dieser Logik sollte ein alternativer Referenzpunkt nicht auf dem rotierenden Körper liegen.

Mit einer solchen Definition kann die momentane Winkelgeschwindigkeit für jede Trajektorie gemessen werden - nicht nur kreisförmig.

Wenn wir das Wort "Zentrum" in der Definition natürlich als einen Punkt interpretieren, der von einem beliebigen Rotationspunkt im gleichen Abstand bleiben muss, können wir die Winkelgeschwindigkeit um keinen anderen Punkt im Raum definieren.

Hinzufügen eines Diagramms zur Verdeutlichung.

Hier$\omega$ist die ursprüngliche, konstante Winkelgeschwindigkeit eines beliebigen Punktes eines rotierenden starren Körpers, der relativ zum Rotationszentrum definiert ist$p_1$, während$\omega'$ist eine variable Winkelgeschwindigkeit, die für denselben Punkt des rotierenden starren Körpers relativ zu einem beliebigen festen Punkt im Raum definiert ist,$p_2$. Offensichtlich,$\omega'\ne \omega$.