Begriffliche Verwirrung über die relative Winkelgeschwindigkeit von Teilchen in einem starren Körper

Lassen Sie mich meinen Zweifel anhand eines Beispiels erläutern, betrachten Sie eine Scheibe mit Radius 2 R rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω Finde zwei Teilchen A auf Abstand R von Mitte u B auf Abstand 2 R aus der Mitte, das wissen wir ω A = ω Und ω B = ω ,Auch v A = R ω Und v B = 2 R ω , Jetzt ω B / A = v B / A R B / A = ω aber wenn ich die Definition verwende ω = D θ D T wir erhalten ein widersprüchliches Ergebnis, ω B / A = D θ D T = 0 seit θ ist der Winkel zwischen der Verbindungslinie, der sich mit der Zeit nicht ändert. Meine Zweifel

  1. Ist ω = D θ D T immer gültig, auch für rotierende Rahmen. Wenn ja, wie leite ich die relative Winkelgeschwindigkeit zwischen den beiden Teilchen nur mit dieser Definition ab?
  2. Mache ich einen konzeptionellen Fehler?

BEARBEITEN 1: Für einen starren Körper können wir sagen, dass sich jeder Punkt zu einem bestimmten Zeitpunkt relativ zu einem anderen Punkt des starren Körpers mit derselben Winkelgeschwindigkeit dreht. So ω B / A ist in der Tat gleich ω .Warum tritt dann der Widerspruch auf?

BEARBEITEN 2: https://www.brown.edu/Departments/Engineering/Courses/En4/notes_old/RigidKinematics/rigkin.htm Bitte überprüfen Sie diesen Link und sehen Sie unter Abschnitt 5.1.3 nach, wo sie Gleichungen für die allgemeine Ebenenbewegung ableiten, dort auch sie haben verwendet ω B / A = ω des starren Körpers, wobei A und B zwei beliebige Punkte sind.

EDIT 3: Sehen Sie, dass die Gleichung v A = v B + ω B / A × R A / B Wo ω B / A = ω Außerdem können wir sehen, wenn wir die Gleichung umwandeln v B = v A + ω × R B / A damit schließe ich meinen Punkt, dass ω B / A = ω A / B = ω

EDIT 4: Sie können auch sehen, was ich hier zu sagen versuche https://en.m.wikipedia.org/wiki/Angular_velocity unter Rigid Body Consideration, Consistency.

EDIT 5: Hier sind einige weitere Links zum Support ω B / A = ω

  1. Relative Winkelgeschwindigkeit eines Punktes in Bezug auf einen anderen Punkt
  2. Winkelgeschwindigkeit um einen beliebigen Punkt

„Stellen Sie sich einen starren Körper vor, der sich mit Winkelgeschwindigkeit dreht ω . Nun, wir wissen, dass dies ω ist eine intrinsische Eigenschaft für den starren Körper in dem Sinne, dass: Jeder Punkt auf dem starren Körper dreht sich mit ω relativ zu jedem anderen Punkt auf dem starren Körper. "

  1. Relative Winkelgeschwindigkeit

  2. „Ein wichtiges Merkmal des Spin-Drehimpulses ist, dass er unabhängig vom Koordinatensystem ist. In diesem Sinne ist er dem Körper inhärent; keine Änderung des Koordinatensystems kann den Spin beseitigen, während der Bahndrehimpuls verschwindet, wenn der Ursprung so gewählt wird, dass er entlang liegt die Bewegungslinie." , Quelle: Eine Einführung in die Mechanik Lehrbuch von Daniel Kleppner und Robert J. Kolenkow.

ja, du hast recht
Ich denke, das Problem liegt in Ihrer Definition der relativen Winkelgeschwindigkeit ω B − ω A , nicht ( v B − v A ) / ( R B − R A )

Antworten (2)

Der Fehler liegt hier in der grundsätzlichen Definition der relativen Winkelgeschwindigkeit.

Die relative Winkelgeschwindigkeit von B in Bezug auf A ist definiert als:

ω B A = ω B − ω A
Seit v = R ω Wir können sagen
ω B A = v B R B − v A R A
was ganz anders ist v B A R B A mathematisch.

Beim Bewerten ω B A = v B R B − v A R A wir erhalten die Antwort Null, was mit den Ergebnissen von übereinstimmt ω = D θ D T . So die Definition

ω = D θ D T
ist absolut richtig.

BEARBEITEN

In dem beigefügten Link heißt es: „Wir untersuchen die Bewegung dieses Körpers sowohl in der feststehenden Referenz O dargestellt, als auch relativ zu einer nicht rotierenden Referenz, die an Punkt B angebracht ist. “ Das heißt, die Rotation des Körpers ist über den Punkt B. So ω B während praktisch Null ist ω A ist gleich ω .Dann

ω A B = ω A − ω B
ω A B = ω − 0 = ω

Aber wenn Sie das Szenario betrachten, das ich in das Diagramm eingeführt habe, wo die Drehung weder um Punkt A oder B, sondern um das Zentrum erfolgt, stimmen die Ergebnisse mit meinen Erklärungen überein.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Für ein weiteres intuitives Verständnis denken Sie daran, wie sich die Erde um ihre Achse dreht, aber für uns scheint alles zu jeder Zeit in Ruhe zu sein.

Aber für einen starren Körper können wir sagen, dass sich jeder Punkt zu einem bestimmten Zeitpunkt relativ zu einem anderen Punkt des starren Körpers mit derselben Winkelgeschwindigkeit dreht
Nein. Ein starrer Körper ist so definiert, dass der Abstand zwischen zwei beliebigen seiner Punkte zu jedem Zeitpunkt den gleichen Abstand hat. Da der Abstand (relative Position) zwischen zwei beliebigen Punkten festgelegt ist, sind sowohl die relative Translationsgeschwindigkeit als auch die relative Winkelgeschwindigkeit Null.
Warum die relative Winkelgeschwindigkeit Null sein muss, ist der Abstand zwischen allen Partikeln festgelegt, auch wenn sie sich mit demselben drehen ω Wrt einander.
@Möbius, bitte schau dir die Änderungen an, die ich vorgenommen habe.
@Möbius lassen Sie uns einen Beobachter bei A platzieren, der jetzt nach Norden zeigt, nach der Zeit t wird er nur nach Norden schauen und um B zu beobachten, muss er seinen Kopf konstant mit Winkelgeschwindigkeit drehen ω B jederzeit zu beobachten. Und bitte überprüfen Sie auch mein Edit 4
Wenn der Beobachter nach einiger Zeit immer noch nach Norden blickt, bedeutet dies, dass er eine Winkelgeschwindigkeit von Null hat. Aber B hat sich in dieser Zeit um den Winkel Theta bewegt. Dann ist der Winkel zwischen A und B Theta, der in der Zeit t zurückgelegt wurde. Dann in Bezug auf die Winkelgeschwindigkeit von A von B ist Theta/t gleich Omega. Dies stimmt nicht mit meiner Erklärung überein, weil sich in meinem Beispiel der Beobachter bei A mit A dreht, also hat auch er die Winkelgeschwindigkeit Omega, die relative Winkelgeschwindigkeit ist Null. Aber hier dreht sich der Beobachter bei A nicht mit A, also ist seine Winkelgeschwindigkeit Null, was die relative Winkelgeschwindigkeit zu Omega macht
Lass mich wissen was du denkst
Ja deswegen sage ich ω B / A Ist ω Wenn wir B von A aus beobachten würden, sollte unser Beobachter in Bezug auf A in Ruhe sein. In diesem Fall folgt mein Ergebnis, während Sie in Ihrem Beispiel den Beobachter auch in Bezug auf A drehen lassen, was wiederum nicht impliziert, dass Sie B in Bezug auf A beobachten.
Ihr Fehler liegt im Verständnis des Bezugsrahmens. Der an A befestigte Bezugsrahmen, von dem aus wir B beobachten, dreht sich tatsächlich mit A, genauso wie Sie sich mit der Erde drehen und alles, was Sie auf der Oberfläche des Planeten beobachten, sich ebenfalls dreht. Wenn Sie jedoch möchten, dass sich der Referenzrahmen nicht dreht, müssen Sie dies so angeben, wie es im Link angegeben wurde, indem Sie "ein nicht rotierender Referenzrahmen bei A" sagen, wobei die Betonung auf der Nichtdrehung liegt. Wenn Sie dies nicht sagen bedeutet standardmäßig, dass sich Ihr Referenzrahmen mit A dreht.
Was ist dann mit all den Links, die ich in EDIT 5 hinzugefügt habe, sagt dasselbe.
@Möbius lass meine Interpretation, schau dir bitte Edit 4 und 5 an
Sagen Sie mir, wenn jeder Punkt auf der Oberfläche eines rotierenden Körpers eine Omega-Winkelgeschwindigkeit in Bezug auf jeden anderen Punkt auf der Oberfläche dieses Körpers hat, wie kommt es dann, dass sich die Erde um ihre Achse dreht, aber wir sehen alle Bäume und Gebäude stationär?
Die Aussage gilt nur für nicht rotierende Referenzrahmen, aber B ist ein rotierender Referenzrahmen. Außerdem ist bei uns ein Fall von Bahndrehimpuls, nicht Spindrehimpuls, da die Punkte A und B, obwohl sich die Scheibe dreht, um das Zentrum kreisen.

θ wird im festen Bezugssystem gemessen, auch wenn es zwischen den beiden Punkten A und B gemessen wird, ändert es sich, wenn sich die Scheibe dreht: es ist nicht Null.

Bezüglich des rotierenden Bezugssystems der Scheibe selbst ist die Winkelgeschwindigkeit der Punkte der Scheibe jedoch Null, weil die Scheibe starr ist ... wenn die Scheibe "weich" oder flüssig wäre, wären die Dinge anders und könnten folgen a Wirbel mit ungleichförmigen Winkelgeschwindigkeiten.

Begriffliche Verwirrung über die relative Winkelgeschwindigkeit von Teilchen in einem starren Körper
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