Rätsel: Relative Bewegung zweier Punkte auf einer rotierenden Scheibe

Wenn ich deine Frage richtig verstehe, sagst du:

$$v = r\omega$$

und deshalb:

$$\begin{align} v_A &= r\omega \\ v_B &= \tfrac{1}{2}r\omega \\ v_A &= 2v_B \end{align}$$

aber wie kann$A$Und$B$haben unterschiedliche Geschwindigkeiten, wenn sie beide an der Scheibe befestigt sind, sodass die Trennung zwischen ihnen fest ist?

Die Antwort ist das$A$Und$B$haben unterschiedliche Beschleunigungen, denn die Beschleunigung ist gegeben durch:

$$a = r\omega^2$$

$A$Und$B$haben zwar unterschiedliche Geschwindigkeiten, aber$A$beschleunigt doppelt so schnell wie$B$tut und dies hält die Größe (nicht die Richtung) der Trennung konstant.

Ja,$B$dreht sich von einem statischen Koordinatenrahmen außerhalb der Scheibe aus gesehen :

Zu Geschwindigkeiten und Beschleunigungen siehe den Artikel in Wikipedia . Es sagt,

$$\vec {v_s} = \vec {v_r} + \vec {\Omega} \times \vec r,$$

Wo$v_s$ist die Geschwindigkeit im statischen Rahmen und$v_r$im Rotieren. Wenn Sie diese Formel für beide Punkte anwenden$A$Und$B$, ihre Geschwindigkeiten im statischen Koordinatensystem sind Null, st sind sie zueinander in Ruhe. Aber wenn Sie die Formel für subtrahieren$A$aus der Formel für$B$, stellen Sie fest, dass sie im statischen Rahmen aufgrund des Begriffs mit relative Geschwindigkeit haben$\vec {\Omega}$.

Ein rotierendes Bezugssystem ist also ein beschleunigtes Bezugssystem$A$Und$B$in einem beschleunigten Bezugssystem ruhen.

Nehmen Sie einen Trägheitsreferenzrahmen an$S_0$und ein weiterer Referenzrahmen$S$, mit einem gemeinsamen Ursprung und Rotation in Bezug auf$S_0$. Der (konstante) Winkelgeschwindigkeitsvektor sei von$S$Sei$\mathbf \Omega$.

Dann die zeitliche Änderungsrate eines Vektors$\mathbf Q$im Inertialsystem ist gegeben durch

$$\left(\frac{d\mathbf Q}{dt} \right)_{S_0} = \left(\frac{d\mathbf Q}{dt} \right)_S + \mathbf \Omega \times \mathbf Q$$

Nehmen Sie für Ihr Problem an, dass sich die Festplatte in der befindet$xy$Flugzeug und$\mathbf \Omega$ist entlang der$z$Achse

$$\mathbf \Omega = \omega \hat{\mathbf z}$$

Lassen$\mathbf r_{BA}$Sei der Trennungsvektor zwischen$B$Und$A$. Seit$\mathbf r_{BA}$ist in dem$xy$eben und radial gerichtet, folgt daraus

$$\mathbf \Omega \times \mathbf r_{BA} = \omega\, r_{BA}\; \hat{\boldsymbol \phi}$$

Im Trägheitsbezugssystem ist der Abstandsvektor betragsmäßig konstant und somit radial gerichtet

$$\left(\frac{d\mathbf r_{BA}}{dt} \right)_{S_0} = \dot \phi\, r_{BA}\; \hat{\boldsymbol \phi} = \omega\, r_{BA}\; \hat{\boldsymbol \phi}$$

Also im rotierenden Bezugsrahmen

$$\left(\frac{d\mathbf r_{BA}}{dt} \right)_S = \left(\frac{d\mathbf r_{BA}}{dt} \right)_{S_0} - \mathbf \Omega \times \mathbf r_{BA} = \omega\, r_{BA}\; \hat{\boldsymbol \phi} - \omega\, r_{BA}\; \hat{\boldsymbol \phi} = 0$$

Im Trägheitsbezugssystem ändert sich der Abstandsvektor mit der Zeit, d. h.$B$Und$A$haben eine relative Geschwindigkeit, aber im beschleunigten Bezugssystem ist ihr Abstandsvektor konstant.

Aus Sicht von A bleibt B jedoch in einem festen Abstand und dreht sich auch nicht (die relative Winkelgeschwindigkeit ist Null).

Aber es dreht sich, wenn sich Ihr Referenzrahmen nicht dreht, sondern nur auf Ihren Interessenpunkt zentriert wird. Wenn Sie einen rotierenden Referenzrahmen betrachten möchten, sind alle Punkte (die an der Scheibe oder am Rahmen befestigt sind) offensichtlich und per Definition darin stationär, und es gibt in einem solchen Referenzrahmen keine "relative Bewegung" zwischen ihnen .