Wie kann der Winkelgeschwindigkeitsvektor aus einer Winkelverschiebung erhalten werden, die kein Vektor ist?

Hier gibt es zwei mögliche Ansichten.

• Eine davon ist, dass Sie Winkelverschiebung oder Position tatsächlich als Vektor betrachten können, indem sie mit einem codiert werden können : wenn Sie haben $$\mathbf{\Theta} := \left<\theta_x, \theta_y, \theta_z\right>$$ dann können Sie erklären, dass dies eine Winkelverschiebung mit der Achse codiert$\mathbf{\hat{\Theta}}$und mit Drehwinkel $$\theta = \sqrt{\theta_x^2 + \theta_y^2 + \theta_z^2}$$ Daran ist mathematisch nichts auszusetzen. Und tatsächlich, wenn der Winkelverschiebungsvektor mit der Zeit an Größe zunimmt, dann ist die Ableitung die Winkelgeschwindigkeit$\mathbf{\Omega}$. Es ist nur das, wenn Sie sich dafür entscheiden, dann die vektorielle Addition$\mathbf{\Theta}_1 + \mathbf{\Theta}_2$von willkürlichen Winkelverschiebungen wird nicht dasselbe sein wie die Zusammensetzung der Rotationstransformationen, die sie darstellen, sondern eine andere Operation, für die ich mir im Moment nicht sicher bin, was sie darstellt.

• Die zweite Ansicht besteht darin, den Unterschied zwischen Verschiebung und Position zu verstehen , und dass die Position im Allgemeinen zunächst kein Vektor ist . Position ist ein Punkt oder besser eine numerische (dh Koordinaten) Methode zur Bezeichnung von Punkten, und während Sie in einigen Fällen damit "durchkommen" können, sie als Vektor zu behandeln, können Sie dies in anderen nicht, z. B. auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit. Verschiebungen sind von Positionen abgeleitete Vektoren .

  Positionen und Vektoren gehören, wenn Sie so wollen (und es gibt tatsächlich eine grundlegende mathematische Theorie, die aber leider nicht allzu gut verwendet zu werden scheint, die sogenannte "Typentheorie") zu verschiedenen "Datentypen", mit unterschiedlichen semantische Bezeichnungen und verschiedene Operationen, die Sie ausführen können und nicht. Insbesondere können sowohl Positionen als auch Vektoren als Tupel von reellen Zahlen dargestellt werden, die aus den Mengen gezogen werden$\mathbb{R}^n$, können Sie keine Positionen hinzufügen oder skalieren, aber Sie können Vektoren.

  In der Tat können Sie normalerweise nichts mit Positionen "tun", außer sie auf irgendeine Weise zu vergleichen - sei es in Bezug auf die lineare Anordnung, wie in einer Dimension, dh der realen Linie - oder in Bezug auf die Messung des Abstands zwischen ihnen ( worum es bei einem metrischen Raum oder einer metrischen Mannigfaltigkeit [Riemannian etc.] geht). Aber Sie können Dinge mit Vektoren "anstellen" - hinzufügen, skalieren usw. .

  Und das, glaube ich, ist der bessere Weg, um zu verstehen, was hier vor sich geht. Im speziellen Fall von Positionen im euklidischen Raum, dem sogenannten "affinen Raum", haben Sie auch die Möglichkeit, zu subtrahieren, um vektorielle Verschiebungen zu erhalten$\mathbf{d} = Q - P$für Punkte$P$Und$Q$. Bei gekrümmten Mannigfaltigkeiten funktioniert dies jedoch aufgrund ihrer nichtlinearen Geometrie nicht auf natürliche Weise - es sei denn, Sie sprechen von einer Verschiebung, die so klein ist, dass die Krümmung vernachlässigt und die Mannigfaltigkeit als flach betrachtet werden kann. Das heißt, auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten können Sie nur eine krummlinige Verschiebung unterscheiden , die im eigentlichen Sinne eine Kurve oder Funktion zwischen den Punkten ist, dh$\gamma: [0, 1] \rightarrow M$, so dass$\gamma(0) = P$Und$\gamma(1) = Q$.

  Und es stellt sich heraus, dass die Winkelposition ehrlich gesagt in einer gekrümmten Mannigfaltigkeit „lebt“ und nicht im euklidischen Raum lebt – stattdessen „lebt“ sie auf einer Mannigfaltigkeit, die eine Form des „realen projektiven Raums“ ist.$\mathbf{RP}^3$, und kann expliziter konstruiert werden, indem eine Konvention wie die Euler-Winkel oder die Tait-Bryan-Winkel verwendet werden. Das heißt, ein Punkt in einer Winkelpositions-Mannigfaltigkeit ist gegeben durch

  $$(\psi, \theta, \phi)$$ wobei dies die drei Euler-Winkel sind (ich persönlich finde die Tait-Bryan-Winkel ['roll/pitch/yaw'] intuitiver).

  Das heißt, es gibt dann auch einen entsprechenden strengen Begriff der Winkelverschiebung - aber das liegt daran, dass die Art und Weise, wie diese Winkelpositionen zum Drehen des Objekts wirken, durch die Wirkung der entsprechenden Rotationsmatrix erfolgt, und diese Rotationsmatrizen können zusammengesetzt werden. Die resultierende Struktur ist somit eine algebraische Gruppe, kein Vektorraum; es ist die Lie-Gruppe$\mathrm{SO}(3)$. Und man kann seine Verschiebungselemente auch in der obigen Form mit Winkeln schreiben, aber die Zusammensetzung in Bezug auf die Winkel ist keine einfache Addition davon ala ein Vektorraum, daher sind sie keine "Vektoren", sondern ihre eigene Sache, die spezifisch ist Winkelraum. Trotzdem können sie, wie Sie beobachtet haben, immer noch von Vektoren unterschieden werden - das liegt an jeder Kurve$\gamma$auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit zu einem Vektor in den Tangentialräumen differenzieren$T_xM$.

Der Schlüssel liegt in der Aussage in Klammern in Ihrem ersten Blockzitat: Konzentrieren Sie sich auf den Teil "es sei denn, sie sind sehr klein". Dies kann durch das einfache "Experiment" unten gesehen werden. Obwohl diese Antwort mathematisch nicht streng ist (für die Strenge siehe Antwort von @The_Sympathizer ), denke ich, dass sie den Kern der Idee darstellt, wie wir Winkelgeschwindigkeit als Vektor aus Winkelverschiebungen erhalten können. Dieses Experiment stammt aus einer „Diskussionsfrage“-Übung aus Sears & Zemanskys „University Physics with Modern Physics“ 13. Auflage:

Obwohl Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung als Vektoren behandelt werden können, ist die Winkelverschiebung$\theta$, obwohl sie eine Größe und Richtung haben, können dies nicht. Das liegt daran$\theta$folgt nicht dem Kommutativgesetz der Vektoraddition.

Beweisen Sie sich das auf folgende Weise: Legen Sie Ihr Physik-Lehrbuch mit der Umschlagseite nach oben flach vor sich auf den Schreibtisch, so dass Sie die Schrift lesen können. Drehen Sie es durch$90^\circ$um eine horizontale Achse, so dass die äußerste Kante zu Ihnen kommt. Nennen Sie diese Winkelverschiebung$\theta_1$. Dann umdrehen$90^\circ$um eine vertikale Achse, sodass die linke Kante zu Ihnen kommt. Nennen Sie diese Winkelverschiebung$\theta_2$. Der Buchrücken sollte nun zu Ihnen zeigen, wobei die Schrift so ausgerichtet sein sollte, dass Sie sie lesen können.

Beginnen Sie nun erneut, aber führen Sie die beiden Drehungen in umgekehrter Reihenfolge aus. Kommst du zu einem anderen Ergebnis? Das heißt, tut$\theta_1+\theta_2$gleich$\theta_2+\theta_1$?

Wiederholen Sie nun dieses Experiment, diesmal jedoch mit einem Winkel von$1^\circ$statt$90^\circ$. Glauben Sie, dass die infinitesimale Verschiebung$\text d\boldsymbol\theta$gehorcht dem kommutativen Additionsgesetz und gilt daher als Vektor? Wenn ja, wie ist die Richtung von$\text d\boldsymbol\theta$im Zusammenhang mit der Richtung von$\boldsymbol \omega$?

Die Idee ist, dass der Winkelgeschwindigkeitsvektor$\boldsymbol\omega=\text d\boldsymbol\theta/\text dt$befasst sich immer nur mit infinitesimalen Winkelverschiebungen, daher ist das Beispiel in den von Ihnen geposteten Bildern nicht gültig, um die Winkelverschiebung mit der Winkelgeschwindigkeit zu vergleichen. Die infinitesimale Winkelverschiebung kann problemlos als Vektor behandelt werden, auch wenn "größere" Verschiebungen dies nicht können.

Vektoren sind mathematische Ausdrücke, die richtig transformiert werden sollen. Vektortransformation bedeutet die Art und Weise, wie gemeinsame Vektoren (wie Verschiebung) unter der Translation oder Rotation des Koordinatensystems transformiert werden.

Kann ein Vektor aus einer Nichtvektorgröße entstehen?

Ja und das tun sie immer. Der Gradient eines Skalarfelds ist ein Vektorfeld. Es besteht auch die Möglichkeit, einen Vektor in einen Skalar umzuwandeln, die Divergenz eines beliebigen Vektors ist ein Skalar.

Diese Antwort ist wahrscheinlich zu fortgeschritten für das OP, könnte aber für diejenigen interessant sein, die fortgeschrittenere Mathematik oder Physik studiert haben. (Ich meine das vollkommen respektvoll.)

Der "beste" Weg, eine (richtige) Drehung im 3D-Raum mathematisch darzustellen, ist nicht ein Vektor, sondern ein Element der Lie-Gruppe$\mathrm{SO}(3)$.$\mathrm{SO}(3)$ist ebenso wie der Vektorraum eine dreidimensionale Lie-Gruppe$\mathbb{R}^3$(mit Vektoraddition als Gruppenoperation), obwohl es eine andere globale Topologie hat. Es ist eine "bessere" Darstellung als$\mathbb{R}^3$weil Rotationen korrekt zusammengesetzt werden, was bei der Vektordarstellung nicht der Fall ist (wie Sie im OP veranschaulichen). nicht wie$\mathbb{R}^3$,$\mathrm{SO}(3)$ist nichtabelsch - die Reihenfolge der Operationen (in diesem Fall Rotationen) macht einen Unterschied.

Infinitesimale Rotationen sind ein qualitativ anderes Tier und werden durch die Elemente der Lie- Algebra dargestellt $\mathfrak{so}(3)$(beachten Sie die unterschiedliche Schriftart und Großschreibung).$\mathfrak{so}(3)$ist in der Tat ein Vektorraum und isomorph zu$\mathbb{R}^3$. (Es hat jedoch eine zusätzliche algebraische Struktur in Form der Lie-Klammer, die geometrisch dem Kreuzprodukt entspricht und die Informationen enthält, die das Scheitern endlicher Rotationen beim Pendeln widerspiegeln). Infinitesimale Drehungen sind also wirklich Vektoren und können in beliebiger Reihenfolge äquivalent addiert werden.

Die Winkelposition kann als Vektor betrachtet werden$\vec \theta$. Nur kein sogenannter geometrischer Vektor (oder euklidischer Vektor ).

Der Autor Ihres Lehrbuchs bezieht sich anscheinend implizit auf geometrische Vektoren. Viele mathematische Operationen sind nur für geometrische Vektoren definiert, da wir hier hohe Symmetriegrade und damit einfache Beziehungen wie das Kommutativgesetz sehen (dass die Reihenfolge der hinzugefügten Teile keine Rolle spielt).

Ob es mathematisch konsistent ist, dass geometrische und nicht-geometrische Vektoren Ableitungen der anderen sind, könnte eine bessere Frage für die Math SE-Site sein . Andernfalls können Sie möglicherweise einige Erklärungen finden, indem Sie nach geometrischem Kalkül suchen .

Aber selbst diese Ableitungen verhalten sich immer noch nicht vollständig wie geometrische Vektoren - zum Beispiel gilt das Superpositionsprinzip nicht für die Winkelgeschwindigkeit (zumindest nicht in 3 Dimensionen). Wenn Sie ein Objekt um alle drei Achsen drehen lassen, werden sie nicht zu einer resultierenden Winkelgeschwindigkeit "verschmelzen", wie Sie es bei linearen Geschwindigkeiten sehen würden (eigentlich werden Sie das tun, aber diese Achse ist nicht festgelegt). Stattdessen überlappen sich alle drei Bewegungen in einem wulstigen und "taumelnden" Spin.

Die Winkelverschiebung muss eine Ebene angeben. Dann ist es ein Vektor, solange man ihn nur mit entsprechenden Vektoren (gleicher Ebene) addiert.