Winkelgeschwindigkeit relativ zu verschiedenen Frames

In Goldstein heißt es: "Es ist intuitiv offensichtlich, dass der Rotationswinkel einer Starrkörperverschiebung wie auch der momentane Winkelgeschwindigkeitsvektor unabhängig von der Wahl des Ursprungs des Körperachsensystems ist."

Leider für mich nicht intuitiv ersichtlich.

Relevante Gleichung zur Berechnung der zeitlichen Änderungsrate eines Vektors zwischen einem trägen und einem nicht trägen rotierenden Bezugssystem:

( D R D T ) S = ( D R D T ) R + ω × R

Wo S bezeichnet den raumfesten Rahmen und R bezeichnet den rotierenden Rahmen.

Wie kann ω gegeben als Vektorkomponenten in einem raumfesten Rahmen, die Rotation eines rotierenden Rahmens vollständig beschreiben, dessen Achsen beispielsweise in einem starren Körper fixiert sind? Mir scheint, dass auch die Wahl des Ursprungs der körperfesten Achse mit einbezogen werden muss und entscheidend für die Bestimmung der nachfolgenden Bewegung ist. Der Ursprung bestimmt, durch welche(n) Punkt(e) die Rotationsachse geht. Wenn ich den starren Körper um den Ursprungspunkt drehe P 1 mit Drehimpuls ω 1 , wird die Bewegung sicherlich anders sein als die Rotation um den Ursprungspunkt P 2 auch mit ω 1 . Ich habe den Beweis durchgearbeitet, warum der Winkelgeschwindigkeitsvektor bei beiden Körperursprüngen gleich ist, bin aber immer noch verwirrt. So ungefähr das einzige, was ich in Einklang bringen kann, ist, dass ein gegebenes dasselbe ist ω und zwei unterschiedlichen Körperursprüngen ist die Rotationsorientierung eines starren Körpers dieselbe, aber der Körper wird sehr unterschiedlich vom Ursprung der raumfesten Achse verschoben. Dies führt mich jedoch zu der Annahme, dass dies die schöne Trennung von Translations- und Rotationsbewegung erschweren würde, die wir beim Lösen von Bewegungsgleichungen anstreben.

Antworten (1)

Relevante Gleichung zur Berechnung der zeitlichen Änderungsrate eines Vektors zwischen einem trägen und einem nicht trägen rotierenden Bezugssystem:

( D R D T ) S = ( D R D T ) R + ω × R

Wo S bezeichnet den raumfesten Rahmen und R bezeichnet den rotierenden Rahmen.

Das ist die relevante Gleichung für den momentan mitbewegten Trägheitsrahmen. Was ist mit einem nicht mitschwingenden Gitterrohrrahmen? Die Verallgemeinerung auf ein räumliches Rahmenwerk, in dem sich der Ursprung des rotierenden Rahmens bewegt, ergibt

( D R D T ) S = ( D R 0 D T ) S + ( D ( R − R 0 ) D T ) R + ω × ( R − R 0 )

Wo R 0 ist der Verschiebungsvektor vom Ursprung des räumlichen Rahmens zum Ursprung des rotierenden Rahmens.

Angenommen, Sie verwenden einen anderen Punkt R 1 das aus der Perspektive des Rotationsrahmens fixiert ist (d. h. ( D ( R 1 − R 0 ) D T ) R ≡ 0 . Gehen Sie die Mathematik durch (eine Übung, die ich Ihnen überlasse) und Sie werden das finden

( D R D T ) S = ( D R 1 D T ) S + ( D ( R − R 1 ) D T ) R + ω × ( R − R 1 )

Mit anderen Worten, die Winkelgeschwindigkeit ω ist unabhängig von der Herkunftswahl.

Mit sich mitbewegendem Raumrahmen meinen Sie, dass der Ursprung des Raumrahmens und der Ursprung des rotierenden Rahmens jederzeit zusammenfallen, richtig?
@LoneWolf - Nein. Was ist, wenn das betreffende Objekt beschleunigt? Zu jedem Zeitpunkt existiert ein Trägheitsbezugssystem, das sofort mit dem Körperrahmen ausgerichtet ist, denselben Ursprung wie der Körperrahmen hat und in dem die Momentangeschwindigkeit des Ursprungs des Körperrahmens null ist. Dies ist der momentan mitbewegte Trägheitsrahmen.
Wenn das Objekt eine Translationsbeschleunigung hatte und eine Körperachse an einem einzelnen Punkt innerhalb des Objekts fixiert war, klingt es so, als müsste sich der sich mitbewegende Trägheitsrahmen auch mit derselben Beschleunigung bewegen (Ursprünge fallen immer zusammen), damit die Momentangeschwindigkeit von der Körperrahmen relativ zu dem sich mitbewegenden Trägheitsraumrahmen null ist. Rechts? Wie kommt es, dass wir ein solches mitbewegtes Raumfachwerk ein "Trägheits"-System nennen, wenn es relativ zu einem nicht mitbewegten Trägheits-Raumfachwerk eindeutig beschleunigt?
@Lone Wolf: " Wenn das Objekt eine Translationsbeschleunigung hatte und eine Körperachse an einem einzelnen Punkt innerhalb des Objekts fixiert war, klingt es so, als müsste sich der sich mitbewegende Trägheitsrahmen auch mit derselben Beschleunigung bewegen (Ursprünge fallen immer zusammen) " - - Solch ein Rahmen/System wäre (permanent) mitbewegt, aber notwendigerweise nicht träge . In einem flachen Bereich ist es jedoch möglich, eine Familie von sich augenblicklich mitbewegenden Inertialsystemen zu identifizieren , bei denen die Mitglieder eines solchen Systems die Nullgeschwindigkeit des einzelnen beschleunigenden materiellen Punktes " innerhalb des Objekts " bei nur einem einzigen Ereignis bestimmen.
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