Winkelgeschwindigkeit um einen beliebigen Punkt

Sie sprechen über das Konzept des "erweiterten starren Körpers", der jeden Punkt im Raum als mit dem Körper mitrotierend umfasst, unabhängig davon, ob er sich physisch auf dem Körper befindet oder nicht.

Der konzeptionelle Sprung hier ist wie folgt:

Sie sind es gewohnt, an Partikel zu denken, die auf einem starren Körper sitzen und ihre Geschwindigkeit verfolgen, während sie sich bewegen. Aber wenn Sie ein magisches Vergrößerungsglas haben und wo immer Sie es im Raum platzieren, messen Sie die Geschwindigkeit des Teilchens, das zufällig darunter hindurchgeht, dann können Sie es immer noch verwenden

$$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$$ Aber$\vec{r}$ist der Ort der Lupe und kein bestimmtes Partikel auf dem Körper. So können Sie die Lupe frei im Raum bewegen und sich vorstellen, wie schnell ein Teilchen darunter wäre, selbst wenn sich der Körper nicht bis zu diesem Ort erstreckt.

Wo also das Konzept des erweiterten Körpers gebraucht wird$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$wird zu einer Feldgleichung, die für alle Punkte im Raum gilt. Dies wird auch als rotierender Rahmen bezeichnet, und für die Dynamik ist es entscheidend, Ableitungen von Vektoren nehmen zu können, die auf rotierenden Rahmen laufen (unabhängig davon, ob sie sich auf einem physischen Körper oder auf dem erweiterten Körper befinden).

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Etwas strenger können Sie zeigen, dass zwei Punkte im Raum, die auf demselben rotierenden erweiterten Rahmen fahren und ihren Abstand festhalten, der Kinematik von gehorchen müssen

$$\vec{v}_A = \vec{v}_B + (\vec{r}_B-\vec{r}_A) \times \vec{\omega} \tag{1}$$ Egal wo die Punkte sind. Wenn also alle Punkte derselben Kinematik folgen, müssen sie dieselbe teilen$\vec{\omega}$, sonst wäre obige Gleichung nicht an allen Stellen gültig.

Die Länge zwischen zwei Punkten ist$\ell = \sqrt{ (\vec{r}_A-\vec{r}_B) \cdot (\vec{r}_A-\vec{r}_B) }$oder

$$(\vec{r}_A-\vec{r}_B) \cdot (\vec{r}_A-\vec{r}_B) = \ell^2 = \text{(const.)}$$

davon nimmt man die zeitliche Ableitung

$$2(\vec{v}_A-\vec{v}_B) \cdot (\vec{r}_A-\vec{r}_B) = 0$$

Verwenden Sie jetzt (1) oben, um zu erhalten

$$2 ( \vec{v}_B + (\vec{r}_B-\vec{r}_A) \times \vec{\omega} - \vec{v}_B) \cdot (\vec{r}_A-\vec{r}_B) = 2 ( (\vec{r}_B-\vec{r}_A) \times \vec{\omega} ) \cdot (\vec{r}_A-\vec{r}_B) \equiv 0$$

und beweisen (1)

Nein, betrachten Sie ein Teilchen (z. B. A) in Ruhe (in Bezug auf die Erde) in einem Abstand X (außerhalb des starren Körpers) von der Achse, um die sich der starre Körper dreht. Betrachten Sie nun ein weiteres Teilchen (B) auf dem starren Körper im Abstand R von der Rotationsachse. Ich werde alle Berechnungen in Bezug auf die Erde durchführen.

Geschwindigkeit von B =$\omega$R,

Geschwindigkeit von A = 0,

Geschwindigkeit von A bezüglich B = 0 -$\omega$R = -$\omega$R.

Nun, von der def. der Winkelgeschwindigkeit,

Winkelgeschwindigkeit von A in Bezug auf B = -$\omega$R/(XR)

Was eindeutig von X abhängt, daher wird es nicht dasselbe sein.

Hoffe das hilft

Vorschläge/Korrekturen [falls vorhanden ;) ] sind willkommen.

Dreht sich jeder Punkt mit sagen wir Ω⃗ relativ zu A?

NEIN.

Angenommen, A bewegt sich mit dem COM des Körpers mit. Es ist ein statischer Punkt im Rahmen des COM. Nehmen Sie eine gerade Linie von A, die an der COM des starren Körpers vorbeiführt.

Es gibt 2 Punkte, an denen die Linie die Oberfläche des Körpers kreuzt, einen näheren und einen weiter entfernten.

Wenn der Körper einen momentanen Winkelgeschwindigkeitsvetor hat$\omega$In Bezug auf COM sind die von A gemessenen Geschwindigkeiten dieselben wie die von COM gemessenen, da sie sich im selben Rahmen befinden:

$v_c = \omega (r_{COM} - r_c)sin(\theta)$
$v_f = -\omega (r_f - r_{COM})sin(\theta)$

$\theta$ist der Winkel zwischen der Linie und der momentanen Rotationsachse des Körpers. Die Geschwindigkeiten haben entgegengesetzte Vorzeichen, da sie auf entgegengesetzten Seiten der Rotationsachse liegen

Da die 2 Punkte bezüglich A die gleiche Winkelgeschwindigkeit haben, müssen die Verhältnisse von Lineargeschwindigkeit und Radius gleich sein:

$$\frac{\omega (r_{COM} - r_c)sin(\theta)}{r_c} = -\frac{\omega (r_f - r_{COM})sin(\theta)}{r_f}$$

Es sei denn$sin(\theta) = 0$, was bedeutet, dass A kolinear mit der Rotationsachse des Körpers ist, erfordert der obige Ausdruck:$r_f = r_c \implies$Der starre Körper reduziert sich auf einen Massenpunkt.

Eine andere Möglichkeit ist, wenn sich A mit dem Körper dreht. In diesem Fall gehört es dazu, auch wenn es aus einiger Entfernung getrennt ist.

Ja. Betrachten Sie für ein intuitives Bild Folgendes: Erweitern Sie den starren Körper von einem Punkt darauf bis zum Punkt A durch eine dünne starre Stange (so dass der Punkt A genau innerhalb der Stange liegt). Betrachten Sie den Körper und die Stange als einen einzigen starren Körper. Verwenden Sie nun Ihre erste fettgedruckte Aussage.

Dies gilt, wenn die momentane Winkelgeschwindigkeit (das ist das Verhältnis$d\Omega/dt$) des Körpers betrachtet werden soll und nicht die relative Lage des Punktes A zum Körper oder seiner Rotationsachse bei Betrachtung in einem Inertialraum von Koordinaten.