Warum ist die Winkelgeschwindigkeit des Körperrahmens ungleich Null?

Tolle Frage; Ich erinnere mich, dass ich davon so verwirrt war, als ich zum ersten Mal analytische Mechanik nahm.

Die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit "im Körperrahmen" sind nicht Null, denn wenn man diese Komponenten schreibt, bezieht man sich nicht auf Messungen der Bewegungen der Teilchen im Körperrahmen (weil die Teilchen natürlich stationär sind in diesem Rahmen). Stattdessen bezieht man sich auf die Winkelgeschwindigkeit, die in einem Inertialsystem gemessen wird , deren Komponenten jedoch einfach in Bezug auf eine zeitvariable Basis geschrieben wurden, die sich mit dem Körper dreht.

In der Praxis messen wir die Positionen$\mathbf x_i(t)= (x_i(t),y_i(t),z_i(t))$der Teilchen in einem Inertialsystem. Dann stellen wir fest, dass für einen starren Körper (der Einfachheit halber betrachten wir eine reine Rotation) die Position jedes Partikels$i$erfüllt

https://physics.stackexchange.com/a/74014/19976

Sobald wir haben$\boldsymbol\omega$, können wir seine Komponenten in Bezug auf jede beliebige Basis schreiben. Wenn wir es in der standardmäßig bestellten Basis schreiben$\{\mathbf e_i\}$, dann werden wir nur bekommen$\omega_x(t)$als seine Bestandteile. Wenn wir es auf irgendeiner Grundlage schreiben$\{\mathbf e_{i,B}(t)\}$der sich mit dem Körper dreht (wie einer, der entlang der Hauptachsen des Körpers zeigt), dann erhalten wir verschiedene Komponenten$\omega^i_B(t)$, und das sind die Körperkomponenten.

Hauptpunkt wiederholt. Die Winkelgeschwindigkeit wird in Bezug auf einen Trägheitsrahmen gemessen , aber ihre Komponenten können in Bezug auf jede gewünschte Basis genommen werden, wie z. B. eine, die sich mit dem Körper dreht.

Denn der Winkelgeschwindigkeitsvektor ω wird im Trägheitssystem „gemessen“ und einfach auf Basis des Körpersystems entwickelt/geschrieben. Und wir tun dies, um die Diagonalisierung des Trägheitstensors loszuwerden.

Das liegt daran, dass Bewegung relativ ist. Wenn Sie sagen, dass sich ein Körper bewegt (oder dreht), muss Ihre Aussage genau zwei Frames beinhalten. Sie können niemals eine Aussage über eine Bewegung machen, die nur ein einzelnes Bild beinhaltet. Sie sagen also immer, dass sich Frame x in Bezug auf Frame y bewegt oder umgekehrt. Sie sagen nie, dass es Bewegung in Frame x gibt, ohne Bezug auf irgendeinen anderen Frame.

Nehmen wir nun an, Sie stehen im Weltrahmen und Sie sagen, dass sich der Rahmen des Körpers in Bezug auf den Rahmenrahmen mit der Geschwindigkeit v bewegt . Wenn Sie jedoch auf dem Körper sitzen würden, würden Sie nicht sagen, dass sich der Körper nicht mehr bewegt, sondern Sie würden sagen, dass sich der Rest der Welt jetzt mit der Geschwindigkeit -v in Bezug auf Sie bewegt. Wenn sich der Körper dreht und Sie auf dem Körper sitzen, ist die relative Winkelgeschwindigkeit zwischen Ihnen und dem Rest der Welt nicht null, sondern -$\omega$.

Also das Endergebnis ... Wenn Sie sagen, dass eine Vektorgröße x im Weltrahmen ist, sagen Sie implizit , dass der andere Rahmen, auf den Sie sich beziehen, der Körperrahmen ist. In ähnlicher Weise sagen Sie, wenn Sie sagen, dass eine Größe x im Körperrahmen ist, implizit, dass der andere Rahmen der Weltrahmen ist. Die Relativgeschwindigkeit von Körperrahmen zu Körperrahmen wäre natürlich zu jeder Zeit 0.