Feynmans Wackelplatte

Question

Feynmans Wackelplatte

Physik
Präzession
Drehimpuls
Winkelgeschwindigkeit
Newtonsche Mechanik
Rotationsdynamik

Dirakologie

Betrachten wir einen symmetrischen Kreisel, dh einen Körper, dessen Massenverteilung axialsymmetrisch ist (ein Zylinder, eine Scheibe, ein Kegel usw.), der frei von jeglichem äußeren Drehmoment ist. Die Euler-Gleichungen für diesen Körper lauten

{ICH}_{1} {\dot{ω}}_{1} - ({ICH}_{1} - {ICH}_{3}) ω_{2} ω_{3} = 0,

$I_1\dot\omega_1-(I_1-I_3)\omega_2\omega_3=0,$

{ICH}_{1} {\dot{ω}}_{2} - ({ICH}_{3} - {ICH}_{1}) ω_{1} ω_{3} = 0,

$I_1\dot\omega_2-(I_3-I_1)\omega_1\omega_3=0,$

{ICH}_{3} {\dot{ω}}_{3} = 0,

$I_3\dot\omega_3=0,$ Wo

I_{i}

$I_i$ sind die Trägheitshauptmomente (Trägheitsmomente entlang der Hauptachsen ) und aufgrund der Achsensymmetrie

I_{1} = I_{2}

$I_1=I_2$ . Die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit

\vec{ω}

$\vec \omega$ sind entlang der Hauptachsen angegeben.

Die dritte Gleichung ergibt

ω_{3} = S,

$\omega_3=s,$ Wo

s

$s$ (Spin) ist konstant. Die ersten beiden Gleichungen können zu einfachen harmonischen Oszillatorgleichungen kombiniert werden und die Lösung ist

ω_{1} = A \cos (Ω T + δ), ω_{2} = A Sünde (Ω T + δ), Ω = \frac{{ICH}_{3} - {ICH}_{1}}{{ICH}_{1}} S .

$\omega_1=A\cos(\Omega t+\delta),\quad \omega_2=A\sin(\Omega t+\delta),\quad \Omega=\frac{I_3-I_1}{I_1}s.$

Im Körperrahmen (Hauptachsen) bedeutet dies, dass der Winkelgeschwindigkeitsvektor eine konstante Projektion auf die Hauptachse hat $\rho_3$ sondern seine Projektion auf die Ebene $\rho_1\rho_2$ dreht sich mit Winkelgeschwindigkeit $\Omega$ . Dies kann als Präzession von angesehen werden $\vec\omega$ um die Symmetrieachse des Körpers. Der Drehimpuls ist $\vec L=I\vec\omega$ , So

\vec{L} = {ICH}_{1} A \cos (Ω T + δ) {\hat{ρ}}_{1} + {ICH}_{2} A Sünde (Ω T + δ) {\hat{ρ}}_{2} + {ICH}_{3} S {\hat{ρ}}_{3},

$\vec L=I_1A\cos(\Omega t+\delta)\hat\rho_1+I_2A\sin(\Omega t+\delta)\hat\rho_2+I_3s\hat\rho_3,$ Daher liegt es in der gleichen Ebene wie

{\hat{ρ}}_{1}

$\hat\rho_1$ Und

ω

$\omega$ und zeigt die gleiche Präzession wie diese.

Im Inertialsystem sehen wir die Symmetrieachse und $\vec\omega$ präzessieren mit Frequenz $\Omega$ um $\vec L$ . Für mich ist es diese Präzession, die als Wackeln angesehen wird ( siehe dies bei 5:26 ).

Betrachten wir eine homogene Scheibe, $I_3=2I_1$ So $\Omega=s$ . Das klassische Ergebnis ist jedoch ein Schwanken der Frequenz $2s$ . Die experimentelle Demonstration kann hier um 0:50 angesehen werden . Dieses Ergebnis kann erhalten werden, indem die Winkelgeschwindigkeitskomponenten in Form von Euler-Winkeln geschrieben und dann aufgelöst werden $\dot\alpha$ . Betrachtet man die Euler-Winkel, scheint es tatsächlich, dass die Umdrehung der Knotenlinie (in der Abbildung unten mit N bezeichnet) dem Wobbeln entspricht und beide Perioden gleich sein sollten.

Meine Frage ist also: Warum gibt die Präzessionsrate des Winkelgeschwindigkeitsvektors nicht genau die Wobbelfrequenz an? Mit anderen Worten, wie kommt es zur Präzession von $\vec\omega$ unterscheidet sich von der Rotation der Knotenlinie.

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Dirakologie · Answer 1

Warum gibt die Präzessionsrate des Winkelgeschwindigkeitsvektors nicht genau die Wobbelfrequenz an? Mit anderen Worten, wie kommt es zur Präzession von $\vec\omega$ unterscheidet sich die Rotation der Knotenlinie?

Kurze Antwort: Wegen der Präzessionsrate $\Omega$ entspricht der Präzession von $\vec\omega$ im Körperrahmen, nicht im Erdrahmen. Die Variablen in den Euler-Gleichungen, $I_i$ , $\omega_i$ Und $\tau_i$ , befinden sich im Körperrahmen.

Die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe hat zwei Beiträge, die Komponente $\vec\omega'$ aufgrund des Spins und der Komponente $\vec\omega''$ aufgrund einer Drehung der geneigten Scheibe um eine vertikale Achse. Letzteres entspricht dem Wackeln, wie es von jemandem im Erdrahmen gesehen wird.

Wie wir aus der Abbildung ersehen können, die resultierende Winkelgeschwindigkeit $\vec\omega$ liegt immer außerhalb der Symmetrieachse der Scheibe, was bedeutet, dass es eine nicht verschwindende Projektion in der Ebene der Scheibe hat (gestrichelte Linie). Gleichzeitig sind die Achsen in der Ebene der Scheibe fixiert, $\rho_1$ Und $\rho_2$ rotiert mit Spin $s$ (betrachtet von jemandem im Erdrahmen). Daher wird jemand im Scheibenrahmen die fixierten Achsen und die Projektion sehen $\omega$ in dieser Ebene rotiert mit Rate $s$ . Deshalb ist die Präzessionsrate gleich dem Spin.

Andererseits ist der Wobbeleffekt auf das Nichtverschwinden zurückzuführen $\vec\omega''$ . A $2\pi$ eine Drehung um die vertikale Linie entspricht einer vollständigen Schwingung (Wobbeln), daher ist die Frequenz des Wobbelns tatsächlich gleich der Größe von $\vec\omega''$ .

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Dirakologie

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