Drehimpuls eines starren, ausgedehnten Objekts: Wenn wir ein rotierendes Objekt sehen, ist der Rotationszustand total relativ?

Wenn wir also ein Objekt rotieren sehen, ist sein Rotationszustand völlig relativ, wie es bei vielen anderen physikalischen Größen der Fall ist ... Ist das richtig?

Der Rotationszustand ist es nicht$totally$relativ; beispielsweise ist die Rotationswinkelgeschwindigkeit für alle Bezugspunkte gleich. Es ist wahr, dass Sie einen anderen Bezugspunkt für die Drehung vom Massenmittelpunkt aus verwenden können, und manchmal ist dies nützlich, insbesondere wenn sich dieser Punkt mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Aber oft ist es der Massenmittelpunkt, der sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, daher heißt es

Es wird oft gesagt, dass ein Objekt, das in die Luft geschleudert wurde und sich dreht, physikalisch um den Massenmittelpunkt rotiert.

denn im Trägheitsbezugssystem kann nur der Massenmittelpunkt als nicht rotierend angesehen werden.

1. Der Drehimpuls ist eine intrinsische Größe im Massenmittelpunkt$\vec{H}_C = \bar{I}_C \vec\omega$, Wo$\bar{I}_C$ist der 3×3-Trägheitstensor im Massenmittelpunkt C .

2. Der an jedem anderen Punkt gemessene Drehimpuls muss den Effekt des linearen Impulses beinhalten$\vec{L}$sowie.$\vec{H}_A = \vec{H}_C + \vec{r}_{AC} \times \vec{L} = \bar{I}_C \vec\omega + \vec{r}_{AC} \times m \vec{v}_C$.

3. Zum Beispiel wenn wir die Rotation um Punkt A mit fixieren$\vec{v}_C = \vec{\omega}\times \vec{r}_{AC}$dann ist der Drehimpuls um A$\vec{H}_A = \bar{I}_C \vec\omega + \vec{r}_{AC} \times m \left(\vec{\omega}\times \vec{r}_{AC} \right)$was als Parallelachsensatz bekannt ist, wenn es geschrieben wird als

   $$\vec{H}_A = \bar{I}_A \vec{\omega} = \left( \bar{I}_C - m \vec{r}_{AC} \times \vec{r}_{AC} \times \right) \vec{\omega}$$ Siehe meine Antwort auf eine verwandte Frage für weitere Details.

4. Der freie Zustand eines starren Körpers ist eine Drehung + parallele Verschiebung des Massenmittelpunkts (auch als Schraubenbewegung bekannt), aber selbst ein belasteter starrer Körper wird immer noch einer Schraubenbewegung unterzogen, nur um eine andere Achse. Die Wahl des Massenschwerpunkts ist keine bequeme, sondern eine natürliche, die sich aus den Bewegungsgleichungen ergibt. Tatsächlich gibt es eine geometrische Beziehung zwischen der Achse einer Kraft und der daraus resultierenden Rotationsachse, die von Sir Robert Stawell Ball entdeckt wurde und Schraubentheorie genannt wird

5. Hier sind einige Aussagen über die Bewegung starrer Körper, die erklären könnten, warum der Massenmittelpunkt "besonders" ist:

   • Eine reine Translation wird durch eine Kraft durch den Massenschwerpunkt erreicht
   • Ein reines Drehmoment dreht einen Körper um seinen Massenmittelpunkt (doppelte Aussage zu oben)
   • Eine reine Translation ergibt keinen Drehimpuls
   • Ein Körper mit nur Drehimpuls dreht sich um seinen Schwerpunkt (doppelte Aussage zu oben)

6. Alle Ihre Fragen lassen sich aus den folgenden grundlegenden Zusammenhängen beantworten:

   • Die Bewegungsschraube des starren Körpers (im Massenmittelpunkt) ist definiert durch

     $$v_C = \begin{pmatrix} \vec{\omega} \\ \vec{v}_C \end{pmatrix}$$ Wo$\vec{v}_C$ist die lineare Geschwindigkeit der cm und$\vec{\omega}$die Winkelgeschwindigkeit des Körpers.

   • Die Impulsschraube eines starren Körpers ist definiert durch

     $$\begin{aligned} L_C & = I_C v_C \\ \begin{pmatrix} \vec{L} \\ \vec{H}_C \end{pmatrix} & = \begin{bmatrix} 0 & m \\ \bar{I}_C & 0 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \vec{\omega} \\ \vec{v}_C \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} m \vec{v}_C \\ \bar{I}_C \vec{\omega} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

   • Die Summe der Kraft-/Momentschrauben ist gleich der zeitlichen Ableitung der Impulsschraube

     $$\begin{aligned} \sum f & = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} L_C \\ \sum \begin{pmatrix} \vec{F} \\ \vec{\tau}_C \end{pmatrix} & = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \begin{pmatrix} m \vec{v}_C \\ \bar{I}_C \vec{\omega} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m \vec{a}_C \\ \bar{I}_C \vec{\alpha} + \vec{\omega}\times \bar{I}_C \vec{\omega} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

7. Die Bewegungsschraube hat folgende geometrische Eigenschaften:

   • Richtung:$\vec{e} = \frac{ \vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}$
   • Rotationszentrum (mit Bezug auf C ):$\vec{r} = \frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_C}{\vec{\omega} \cdot \vec{\omega}}$
   • Steigung (Parallelverschiebung pro Umdrehung)$h = \frac{ \vec{\omega} \cdot \vec{v}_C}{\vec{\omega} \cdot \vec{\omega}}$

8. Die Kraftschraube hat folgende geometrische Eigenschaften:

   • Richtung:$\vec{e} = \frac{ \vec{F}}{|\vec{F}|}$
   • Position der Kraftachse (mit Bezug auf C ):$\vec{r} = \frac{\vec{F}\times\vec{\tau}_C}{\vec{F} \cdot \vec{F}}$
   • Steigung (paralleles Drehmoment pro Kraft)$h = \frac{ \vec{F} \cdot \vec{\tau}_C}{\vec{F} \cdot \vec{F}}$

9. Ähnlich für die Schwungschraube. Die Lage der Impulsachse$\vec{r} = \frac{\vec{L}\times\vec{H_C}}{\vec{L} \cdot \vec{L}}$Hier wird ein reiner Impuls zu einer reinen Drehung um A führen . Dies wird auch als Schlagachse bezeichnet.

10. Schließlich können die Transformationsgesetze von Schrauben die Größen vom Massenmittelpunkt C zu einem anderen Punkt A verschieben , so dass

    $$\begin{aligned} v_A & = X_{AC} v_C \\ \begin{pmatrix} \vec{\omega} \\ \vec{v}_A \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \vec{\omega} \\ \vec{v}_C + \vec{r}_{AC}\times\vec{\omega} \end{pmatrix} \\ L_A & = X_{AC} L_C \\ \begin{pmatrix} \vec{L} \\ \vec{H}_A \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \vec{L} \\ \vec{H}_C + \vec{r}_{AC}\times\vec{L} \end{pmatrix} \\ f_A & = X_{AC} f_C \\ \begin{pmatrix} \vec{F} \\ \vec{\tau}_A \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \vec{F} \\ \vec{\tau}_C + \vec{r}_{AC}\times\vec{F} \end{pmatrix} \end{aligned}$$ mit $$X_{AC} = \begin{bmatrix} \bf{1} & \bf{0} \\ \vec{r}_{AC}\times & \bf{1} \end{bmatrix}$$ die 6×6-Schraubentransformationsmatrix.

Wenn Sie alle Ähnlichkeiten zwischen den Bewegungs-, Kraft- und Impulsschrauben bemerken, können Sie beginnen, die Geometrie hinter der Starrkörperbewegung zu verstehen.