Warum wird in der Starrkörperdynamik immer der Schwerpunktrahmen verwendet?

Sie müssen nicht , aber es macht die Gleichungen einfacher zu handhaben, weil Sie den Moment der Beschleunigungsterme nicht berücksichtigen müssen. Siehe den 2. Teil dieser Antwort zum Ableiten der Newtonschen Gesetze an einem beliebigen Punkt, nicht am Massenmittelpunkt.

Also endlich die Bewegungsgleichungen eines starren Körpers, wie er durch einen Rahmen A beschrieben wird, der nicht auf dem Schwerpunkt C liegt (ziemlich chaotisch)

$$\boxed{ \begin{aligned} \sum \vec{F} &= m \vec{a}_A - m \vec{c}\times \vec{\alpha} + m \vec{\omega}\times\vec{\omega}\times\vec{c} \\ \sum \vec{M}_A &= I_C \vec{\alpha} + m \vec{c} \times \vec{a}_A - m \vec{c} \times \vec{c} \times \vec{\alpha} +\vec{\omega} \times I_C \vec{\omega} + m \vec{c} \times \left( \vec{\omega} \times \vec{\omega} \times \vec{c} \right) \end{aligned} }$$

Die Summe der Kräfteanteile entspricht Masse mal Beschleunigung des Massenschwerpunktes. Wenn die COM nicht verwendet wird, scheinen diese zusätzlichen Begriffe die Änderung zu berücksichtigen.

Um Ihnen zu helfen, können die Bewegungsgesetze wie folgt zusammengefasst werden:

• Linearer Impuls ist definiert als Masse mal Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts $$\vec{p} = m \vec{v}_{C}$$
• Der Drehimpuls am Massenmittelpunkt ist definiert als Rotationsträgheit am Massenmittelpunkt mal Winkelgeschwindigkeit $$\vec{L}_C = I_C \vec{\omega}$$
• Die auf einen Körper wirkenden Nettokräfte sind gleich der zeitlichen Ableitung des linearen Impulses $$\sum \vec{F} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \vec{p} = m \vec{a}_C$$
• Die Nettodrehmomente, die auf einen starren Körper um den Massenmittelpunkt wirken , sind gleich der Zeitableitung des Drehimpulses am Massenmittelpunkt $$\sum \vec{\tau}_C = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \vec{L}_C = I_C \vec{\alpha} + \vec{\omega} \times I_C \vec{\omega}$$
• Um diese Mengen an einen anderen Standort A mit zu übertragen$\vec{r}=\vec{r}_C -\vec{r}_A$verwenden Sie die folgenden Regeln

$$\begin{aligned} \vec{v}_A & = \vec{v}_C + \vec{r} \times \vec{\omega} \\ \vec{a}_A & = \vec{a}_C + \vec{r} \times \vec{\alpha} + \vec{\omega} \times \left( \vec{r} \times \vec{\omega} \right) \\ \vec{L}_A & = \vec{L}_C + \vec{r} \times \vec{p} \\ \sum \vec{\tau}_A & = \sum \vec{\tau}_C + \vec{r} \times \sum \vec{F} \\ \end{aligned}$$

während Kräfte, lineare Impulse, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung mit dem gesamten starren Körper geteilt werden und sich daher nicht von Punkt zu Punkt ändern.

Zu dem Obigen können Sie die Vektorform des Satzes mit parallelen Achsen hinzufügen

$$I_A = I_C - m [\vec{r}\times] [\vec{r}\times]$$

Wo$[\vec{r}\times]$ist die symmetrische 3 × 3-Matrix für den Kreuzproduktoperator_{$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\times = \begin{vmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{vmatrix}$}

Dies ergibt sich aus der Impulsumwandlung von C nach A , aber es ist nicht das vollständige Bild. Um zu sehen, was passiert, müssen Sie sich die folgende 6 × 6- Raumträgheitsmatrix ansehen :

$$\begin{aligned}\vec{p} & =m\vec{v}_{C}=m\left(\vec{v}_{A}-\vec{r}\times\vec{\omega}\right)\\ \vec{L}_{A} & =I_{C}\vec{\omega}+m\,\vec{r}\times\left(\vec{v}_{A}-\vec{r}\times\vec{\omega}\right)\\ \begin{pmatrix}\vec{p}\\ \vec{L}_{A} \end{pmatrix} & =\begin{vmatrix}m & -m\,\vec{r}\times\\ m\,\vec{r}\times & I_{C}-m\,\vec{r}\times\,\vec{r}\times \end{vmatrix}\begin{pmatrix}\vec{v}_{A}\\ \vec{\omega} \end{pmatrix} \end{aligned}$$