Warum muss das Trägheitsmoment eine lineare Transformation sein?

Question

Warum muss das Trägheitsmoment eine lineare Transformation sein?

Physik
Drehimpuls
Trägheitsmoment
klassische Mechanik
Starrkörperdynamik
lagrangescher Formalismus

Namenloser Paladin

Es scheint so zu sein, dass im Zusammenhang mit der Starrkörperdynamik das Trägheitsmoment als die Größe eingeführt wird, die die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit in die Komponenten des Drehimpulses abbildet.

Nun, die Winkelgeschwindigkeit ist eine verallgemeinerte Geschwindigkeit, daher sollte sie an einem Punkt auf der Mannigfaltigkeit ein Element des Tangentialraums sein, und der Drehimpuls lebt im Kotangentialraum, dessen Komponenten als Gradientenkomponenten des Lagrangians definiert sind, dh

P_{ich} = \frac{\partial L (Q, \dot{Q}, T)}{\partial {\dot{Q}}^{ich}}

$p_i = \dfrac{\partial\mathcal{L}(q,\dot{q},t)}{\partial\dot{q}^i}$

Hier $p_i$ sind die Komponenten des Drehimpulses und $q^i$ sind Komponenten der Winkelgeschwindigkeit. Nehmen wir nun an, dass diese Komponenten durch lineare Transformation, nämlich das Trägheitsmoment, zusammenhängen? Wenn ja, dann ist es mir überhaupt nicht klar, warum $L$ sollte linear mit abhängen $\omega$ . Darüber hinaus, selbst wenn dies der Fall wäre, wie genau qualifiziert sich das Trägheitsmoment als a $(1,1)$ Tensor? Es scheint einen Vektor auf einen Covektor abzubilden.

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Warum muss das Trägheitsmoment eine lineare Transformation sein?

QMechaniker · Answer 1

Das Trägheitsmoment ist für die Drehbewegung das, was die (träge) Masse für die lineare Bewegung ist. Mit anderen Worten, das Trägheitsmoment ist eine verallgemeinerte Masse.
Lassen Sie die $n$ -dimensionaler Konfigurationsraum $M$ verallgemeinerte Positionen haben $(q^1, \ldots, q^n)$ . In der Punktmechanik (im Gegensatz zur Feldtheorie) sind die verallgemeinerten Massen per Definition die Strukturkoeffizienten im kinetischen Term
$\frac{1}{2} \sum_{ich, J = 1}^{N} M_{ich J} {\dot{Q}}^{ich} {\dot{Q}}^{J}$ $\frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^n m_{ij}~\dot{q}^i\dot{q}^j$ das ist quadratisch in den Geschwindigkeiten $\dot{q}^i$ im Lagrange $L$ . Der verallgemeinerte Massentensor
$M = \sum_{ich, J = 1}^{N} M_{ich J} D Q^{ich} ⊙ D Q^{J} \in Γ ({S j M}^{2} (T^{*} M))$ $m~=~ \sum_{i,j=1}^n m_{ij} ~\mathrm{d}q^i \odot \mathrm{d}q^j~\in~ \Gamma\left( {\rm Sym}^2(T^{\ast}M)\right)$ ist ein Abschnitt im symmetrischen Tensorprodukt ${S j M}^{2} (T^{*} M) = T^{*} M ⊙ T^{*} M$ ${\rm Sym}^2(T^{\ast}M)~=~T^{\ast}M\odot T^{\ast}M$ über dem Kotangensbündel $T^{\ast}M$ . Mit anderen Worten, $m$ ist symmetrisch $(0,2)$ kovariantes Tensorfeld . Wenn es positiv definit ist, ist es ein metrischer Tensor auf dem Konfigurationsraum $M$ .
Bis jetzt $m_{ij}$ könnte im Prinzip von den verallgemeinerten Positionen abhängen $q^i$ . Wenn wir das zusätzlich verlangen (wie man es normalerweise tut). $m_{ij}$ unabhängig von den verallgemeinerten Positionen ist, können wir in der Tensorkonstruktion nur affine Koordinatentransformationen zulassen.

Warum muss das Trägheitsmoment eine lineare Transformation sein?

Namenloser Paladin

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QMechaniker

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