Lagrangedichte eines schweren symmetrischen Kreisels – Trägheits- oder Nicht-Trägheitsrahmen?

Ich bin etwas verwirrt mit der Analyse eines symmetrischen Oberteils (insbesondere eines schweren Oberteils, aber dies ist für die Frage nicht sehr wichtig).

In Anlehnung an die Mechanik von Landau und Lifshitz präsentieren sie auf Seite 110 die Eulerschen Winkel und stellen dann die Winkelgeschwindigkeit eines starren Körpers in Bezug auf die sogenannten beweglichen Achsen dar:

$$\vec{\Omega}=(\dot\phi \sin\theta \sin\psi+\dot\theta\cos\psi)\hat x+(\dot\phi\sin\theta\cos\psi-\dot\theta\sin\psi)\hat y+(\dot\phi\cos\theta+\dot\psi)\hat{z}.\tag{35.1}$$

Dann, wenn sie mit der Analyse eines symmetrischen Kreisels fortfahren, zum Beispiel bei Problem 1 auf Seite 112, schreiben sie die Lagrange-Funktion in der Form:

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}I_1(\Omega_1^2+\Omega_2^2)+\frac{1}{2}I_3\Omega_3^2.\tag{32.8/35.2}$$

Jetzt verstehe ich die Definition der Winkel und die Projektion der Winkelgeschwindigkeit auf das bewegte Koordinatensystem. Die Verwirrung entsteht, wenn sie die Lagrange-Funktion schreiben – wenn die Geschwindigkeit relativ zum sich bewegenden Koordinatensystem geschrieben wird – was ein Nicht-Trägheits-Koordinatensystem ist, warum müssen wir nicht Terme hinzufügen, die Nicht-Trägheitskräfte berücksichtigen, wie auf Seite 126 getan,$\S$39?