Die Form der Lagrange für ein freies Teilchen

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Die Form der Lagrange für ein freies Teilchen

achatrch

Ich habe mich gerade hier angemeldet und bin sehr froh, dass ich endlich einen solchen Ort für Fragen gefunden habe.

Ich habe eine kleine Frage zur klassischen Mechanik, Lagrange eines freien Teilchens. Ich habe gerade Deriving the Lagrangeian für einen kostenlosen Partikel- Blog gelesen. Also, wenn ich richtig liege, haben wir, dass sich das freie Teilchen mit einer konstanten Geschwindigkeit im Inertialsystem bewegt und auch das

\vec{0} = \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = \frac{D}{D T} (2 \vec{v} ℓ^{'})

$\vec{0}~=~\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \vec{v}} ~=~\frac{d }{dt} \left(2\vec{v}~\ell^{\prime}\right)$

$\ell^{\prime}$ bedeutet $\frac{\partial L}{\partial v^2}$ .Somit

\vec{C} = (2 \vec{v} ℓ^{'})

$\vec{c}~=~\left(2\vec{v}~\ell^{\prime}\right)$

Also, diese beiden Aussagen bedeuten das $\ell^{\prime}$ ist konstant, also

L = ℓ (v^{2}) = a v^{2} + β,

$L~=~ \ell(v^2)~=~\alpha v^2+\beta,$

Ist das nicht genug, um die Lagrangian eines freien Teilchens abzuleiten. Wenn ja (aber ich bin sicher nein), warum hat Landau die galiläischen Transformationsformeln usw. verwendet, um diese Formel abzuleiten.

Vielen Dank!

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Die Form der Lagrange für ein freies Teilchen

QMechaniker · Answer 1

Die Antwort ist Nein, das Argument von OP (v1) reicht nicht aus, um die Lagrange-Funktion für ein nicht-relativistisches freies Teilchen abzuleiten. Es ist wahr, dass die von OP erwähnte Bewegungskonstante

\vec{C} := \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = 2 \vec{v} ℓ^{'}

$\vec{c}~:=~\frac{\partial L}{\partial \vec{v}}~=~2\vec{v}~\ell^{\prime}$

ist nicht zeitabhängig $t$ . (Es ist tatsächlich der kanonische/konjugierte Impuls, der sich im Allgemeinen vom mechanischen/kinetischen Impuls unterscheidet $m\vec{v}$ .) Jedoch, $\vec{c}$ könnte immer noch z. B. von der Anfangsgeschwindigkeit des Teilchens abhängen (was auch die Geschwindigkeit ist $\vec{v}$ , da wir wissen, dass die Geschwindigkeit für ein freies Teilchen konstant ist, vgl. zB der erste Teil der verlinkten Antwort ).

Dies lässt sich vielleicht am besten anhand eines einfachen Beispiels veranschaulichen

L = ℓ (v^{2}) = v^{4} .

$L~=~\ell(v^2)~=~ v^4.$

Dann

\vec{C} = 2 \vec{v} ℓ^{'} = 4 \vec{v} v^{2},

$\vec{c}~=~2\vec{v}~\ell^{\prime} ~=~4\vec{v}~v^2,$

was eine Bewegungskonstante ist, wie es sein sollte.

Richtig, andere Funktionen von $v^2$ kann das auch. Immerhin ist die relativistische Lagrangedichte proportional zu $-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}$ ist ein Beispiel dafür. Für klein $v$ , kann es erweitert werden als $mv^2$ plus Korrekturen proportional zu jeder anderen geraden Potenz von $v$ .
OK, jetzt habe ich wirklich verstanden, was das Problem war! Vielen Dank!

Die Form der Lagrange für ein freies Teilchen

achatrch

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QMechaniker

Lubos Motl

achatrch

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