Brauchen wir Trägheitsrahmen in der Lagrange-Mechanik?

Die Verwendung von Trägheitsrahmen in der Lagrange-Mechanik ist keineswegs obligatorisch und alles kann in jedem Referenzrahmen durchgeführt werden, vorausgesetzt, man berücksichtigt alle realen und Trägheitskräfte.

Eigentlich gibt es zwei Möglichkeiten, die Frage zu interpretieren.

1. Wir arbeiten in einem nicht inertialen System$R'$(anstatt einer Trägheit$R$) , weil wir Koordinaten annehmen$q'^k$ in Ruhe mit $R'$. Mit anderen Worten: Wenn wir alle halten$q'^k$fixiert, die Punkte der Materie, in denen das physikalische System ruht$R'$.

2. Wir arbeiten in einem nicht inertialen System$R'$(anstatt einer Trägheit$R$) , weil die Lagrangedichte alle auftretenden Kräfte (Realkräfte und Trägheitskräfte) umfasst$R'$.

Das sind zwei völlig unabhängige Standpunkte, deren Zusammenspiel ich veranschaulichen möchte. Alles beruht auf dem folgenden allgemeinen Resultat. Ich werde mich nun auf ein generisches Paar von Bezugsrahmen beziehen$R$und$R'$ohne anzunehmen, dass einer von beiden träge ist.

Vorschlag. Angenommen, es handelt sich um einen Lagrange$L|_R(r,q, \dot{q})$ist beides

• (a) konstruiert aus den Kräften, die in einem Bezugssystem auftreten$R$,

• (b) Verwendung von Koordinaten$q^k$in Ruhe mit diesem Rahmen.

Wenn dieser Lagrange beschrieben wird, geht man zu Koordinaten über$q'^h$($*$) in Ruhe mit einem anderen Bezugssystem$R'$, dh :

$$L'|_R(t, q', \dot{q}'):= L|_R(t, q(t,q'), \dot{q}(t,q', \dot{q}'))$$
dann erzeugt es die richtigen Bewegungsgleichungen in$R'$, aber im Allgemeinen kann es vorkommen, dass : $$L'|_R(t, q', \dot{q}') \neq L|_{R'}(t, q', \dot{q}')$$ wo in der RHS ein Lagrangian stattfindet, der direkt aus allen Kräften konstruiert ist, die sich darin manifestieren$R'$und bezogen auf ruhende Koordinaten mit$R'$.

Das besagte Ergebnis hat zwei bemerkenswerte Konsequenzen: (i) Der Lagragian eines gegebenen Systems ist nicht eindeutig gegeben, (ii) sobald wir einen Lagrange eines Systems auswählen, können wir annehmen, dass er sich als Skalar transformiert, ohne die Gleichungen zu beeinflussen der Bewegung, geschrieben in welchem ​​Bezugssystem auch immer.

Das genannte Ergebnis impliziert etwas für den Spezialfall wo$R$ist träge und$R'$ist nicht. Fangen wir an zu bauen$L|_R$in$R$. Der Einfachheit halber halten wir uns an die Form:

$$L|_R(t,q, \dot{q}) = T|_R(q,\dot{q}) - U|_R(q)\quad (1)$$ dh alle Kräfte sollen konservativ sein $R$. Der allgemeinere Fall von realen Kräften aufgrund eines verallgemeinerten Potentials (siehe unten) bringt wie elektromagnetische Kräfte keine weiteren Schwierigkeiten mit sich.

Im$R'$die wirklichen Kräfte verbunden mit$U$bleiben bestehen, aber neue Trägheitskräfte tauchen auf, die durch einen zusätzlichen Begriff beschrieben werden$-V$unten, also muss die Lagrange-Funktion die Form haben:

$$L|_{R'}(t,q', \dot{q}') = T|_{R'}(q',\dot{q}') - U|_R(q(t,q')) - V(t, q', \dot{q}')\quad (2)$$

Unter Verwendung von (1) und (2) schließen wir, dass:

$$V(t,q',\dot{q}') = T|_{R'}- T|_R \quad (3)$$

Durch das direkte Inspektionsformular (3) ist leicht zu erkennen, dass:

$$V(t,q',\dot{q}') = \phi(t,q') + \sum_{k=1}^n A_k(t,q')\dot{q}'^k\quad (4)$$

Dieses Objekt wird als verallgemeinertes Potential bezeichnet . Physiker sind damit vertraut, weil es auftritt, wenn es um die Lagrange-Funktion geladener Teilchen geht, die in ein gegebenes (nicht stationäres) elektromagnetisches Feld eingetaucht sind. Trägheitskräfte werden durch ein ähnliches theoretisches Objekt beschrieben. Eine genauere Betrachtung der Bewegungsgleichungen:

$$\frac{d}{dt} \frac{\partial L|_{R'}}{\partial \dot{q}'} - \frac{\partial L|_{R'}}{\partial q'}=0$$ nämlich: $$\frac{d}{dt} \frac{\partial T|_{R'}}{\partial \dot{q}'} - \frac{\partial T|_{R'}}{\partial q'}= -\frac{\partial U|_R(q(t,q')) }{\partial q'} - \frac{\partial V}{\partial q'} + \frac{d}{dt} \frac{\partial V}{\partial \dot{q}'}$$ beweist, dass die letzten beiden Terme im RHS tatsächlich für alle Trägheitskräfte (z. B. Zentrifugal- und Corioliskräfte und alle übrigen für eine generische Bewegung von ) verantwortlich sind $R'$in Gedenken an $R$). In gewisser Weise ist insbesondere die Coriolis-Kraft der magnetischen Kraft ähnlich und mit den Funktionen verbunden $A_k$in (4).

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Fußnoten

($*$) Ich gehe hier davon aus, dass die Koordinatentransformation an die Struktur der Mannigfaltigkeit angepasst ist$L$ist definiert. Die Struktur ist die eines Faserbündels (eines Strahlbündels) über der Zeitlinie$\mathbb R$. So:

$$t'=t\:, \quad q'^k = q'^k(t,q)\:, \quad \dot{q}'^k = \frac{\partial q'^k}{\partial t} + \sum_{h=1}^n \frac{\partial q'^k}{\partial q^h} \dot{q}^h$$

Es hängt davon ab, wie Sie die Lagrange-Gleichungen "ableiten", ob Sie die Newtonschen Gesetze als grundlegend nehmen oder ein Aktionsintegral annehmen und es minimieren. Es besteht jedoch keine solche Anforderung, dass Sie sich in einem Trägheitsbezugssystem befinden.

Um Ihr Pendelproblem zu betrachten, könnten Sie also mit der Lagrange-Funktion beginnen

$$\begin{equation} L = \frac{1}{2} I \dot{\theta}^2 + m g r \cos \theta \end{equation}$$ und dies wäre im Bezugsrahmen des Stillsitzens relativ zum Pendel. Nun, Sie könnten sich genauso gut vorstellen, auf einem einfachen Pendel zu reiten, und eine neue Koordinate nehmen $$\begin{equation} \vartheta = \theta - \cos\left ( \sqrt{\frac{mgr}{I}} t \right ) \end{equation}$$ was Ihnen einen neuen Lagrange gibt $$\begin{equation} L' = \frac{1}{2} I \left ( \dot{\vartheta} - \sqrt{ \frac{mgr}{I}} \sin \left ( \sqrt{ \frac{mgr}{I}} t \right ) \right )^2 + mgr \cos \left ( \vartheta + \cos\left ( \sqrt{\frac{mgr}{I}} t \right ) \right ) \end{equation}$$ und dann die Bewegungsgleichungen für $\vartheta$wird Ihnen sagen, wie weit Sie von dem linearen Problem entfernt sind. Dies ist sicherlich eine zulässige Transformation, die Sie durch direkte Substitution bestätigen können und die korrekten Bewegungsgleichungen liefert.

I) In z. B. Lit. 1 wird gezeigt, dass für alle fiktiven Kräfte , wie zB die Zentrifugalkraft, die Corioliskraft und die Eulerkraft, verallgemeinerte Potentiale (ggf. geschwindigkeitsabhängig) existieren . Also ja, es gibt Lagrange-Formulierungen für nicht-inertiale beschleunigte Referenzrahmen.

II) Das Bild von OP zeigt Kapitzas Pendel . Das Kapitza-Pendel ist zB interessant, weil es überraschenderweise ein stabiles Gleichgewicht in der umgekehrten/oberen vertikalen Position hat. Eine detaillierte Lagrange-Formulierung (einschließlich einer effektiven Formulierung im langsamen Modus) des Kapitza-Pendels finden Sie auf der Wikipedia-Seite.

Verweise:

1. LD Landau & EM Lifshitz, Mechanik, Bd. 1 (1976)$\S$39.