Ableitung der effektiven potentiellen Energie aus dem Lagrange eines Zweikörpersystems [Duplikat]

Question

Ableitung der effektiven potentiellen Energie aus dem Lagrange eines Zweikörpersystems [Duplikat]

Robert Quiry

Ich habe einige Probleme zu verstehen, wie die effektive potentielle Energie eines Zweikörpersystems aus dem Lagrange des Systems abgeleitet wird. Insbesondere mein Problem ist mit einem Schritt ...

Angenommen, wir analysieren das System im Schwerpunktsystem mit einer reduzierten Masse $\mu$ , radiale Trennung $r$ , und Winkelgeschwindigkeit $\dot{\phi}$ . Dann kann die Lagrange-Funktion ausgedrückt werden als:

L = \frac{1}{2} μ ({\dot{R}}^{2} + R^{2} {\dot{ϕ}}^{2}) - U (R)

$\mathscr{L}= \frac{1}{2}\mu(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)-U(r)$ ich verstehe das

ϕ

$\phi$ ist eine zyklische Koordinate, da

\frac{\partial L}{\partial ϕ} = 0

$\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi}=0$ , und damit der Drehimpuls

l

$l$ wird konserviert. Seit

l = μ r^{2} \dot{ϕ}

$l=\mu r^2 \dot{\phi}$ , wir können dies verwenden, um in zu ersetzen

\dot{ϕ}

$\dot{\phi}$ und machen die Lagrange-Funktion eindimensional.

Mein Problem ist folgendes: Wenn wir das ersetzen $\dot{\phi}$ Bevor wir die Euler-Lagrange-Gleichung verwenden, um die Bewegungsgleichung abzuleiten, erhalten wir das falsche Ergebnis. Es gibt ein Minuszeichen, wo es nicht sein sollte!

\begin{aligned} L & = \frac{1}{2} μ {\dot{R}}^{2} + \frac{1}{2} μ R^{2} (\frac{l}{μ R^{2}})^{2} - U (R) \\ = \frac{1}{2} μ {\dot{R}}^{2} + \frac{l^{2}}{2 μ R^{2}} - U (R) \Rightarrow U_{e F F} (R) = U (R) - \frac{l^{2}}{2 μ R^{2}} \end{aligned} \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial \dot{R}} = \frac{\partial L}{\partial R} \Rightarrow μ \ddot{R} = - \frac{l^{2}}{μ R^{3}} - U^{'} (R)

$\begin{align} \mathscr{L} &= \frac{1}{2}\mu\dot{r}^2+\frac{1}{2}\mu r^2 \biggl(\frac{l}{\mu r^2}\biggr)^2-U(r) \\ &= \frac{1}{2}\mu\dot{r}^2+\frac{l^2}{2\mu r^2}-U(r) \ \Rightarrow \ U_{eff}(r) = U(r) - \frac{l^2}{2\mu r^2} \end{align}\\ \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{r}}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial r} \ \Rightarrow\ \ \mu\ddot{r}=\color{red}{-}\frac{l^2}{\mu r^3}-U'(r)$ Wenn wir die Reihenfolge dieser Schritte umkehren, erhalten wir das richtige Ergebnis.

L = \frac{1}{2} μ {\dot{R}}^{2} + \frac{1}{2} μ R^{2} {\dot{ϕ}}^{2} - U (R) \begin{aligned} \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial \dot{R}} = \frac{\partial L}{\partial R} \Rightarrow μ \ddot{R} & = μ R {\dot{ϕ}}^{2} - U^{'} (R) \\ = μ R (\frac{l}{μ R^{2}})^{2} - U^{'} (R) \\ = \frac{l^{2}}{μ R^{3}} - U^{'} (R) \end{aligned}

$\mathscr{L}= \frac{1}{2}\mu\dot{r}^2+\frac{1}{2}\mu r^2\dot{\phi}^2-U(r) \\ \begin{align}\frac{d}{dt} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{r}}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial r} \Rightarrow\mu\ddot{r} &= \mu r \dot{\phi}^2 -U'(r)\\ &= \mu r \biggl(\frac{l}{\mu r^2}\biggr)^2 -U'(r)\\ &= \frac{l^2}{\mu r^3} -U'(r)\\ \end{align}$ Was ist denn hier los? Warum spielt die Reihenfolge dieser Operationen eine Rolle und was bedeutet das physikalisch?

HAT ES GEPOSTED:

Als Reaktion auf die Markierung als Duplikat von: Lagrange eines effektiven Potenzials . Ich habe die Antwort auf diese Frage nicht vollständig verstanden, da sie den Rahmen dessen sprengen würde, was ich gelernt habe (als Student im zweiten Studienjahr).

Apropos: Wie können Sie dieses „Paradoxon“ lösen? Zentrales Potenzial , der Titel beschreibt nicht sehr genau, was gefragt wird, daher habe ich diesen Beitrag nicht gefunden. Die akzeptierte Antwort ist jedoch sehr prägnant und wird mit einer weniger fortgeschrittenen Theorie gegeben. Vielen Dank, dass Sie mich darauf aufmerksam gemacht haben!

Robert Quiry

@Sergio Ahhh interessant, also kann der Begriff der effektiven Potenziale nicht rein aus dem Lagrange gewonnen werden ... Vielen Dank für Ihren Beitrag!

Robert Quiry

@VladimirKalitvianski Ich habe das Schild nicht übersehen, es ist rot! :^)

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/262183/2451 , physical.stackexchange.com/q/83190/2451 und Links darin.

Antworten (2)

Ableitung der effektiven potentiellen Energie aus dem Lagrange eines Zweikörpersystems [Duplikat]

@Sergio Ahhh interessant, also kann der Begriff der effektiven Potenziale nicht rein aus dem Lagrange gewonnen werden ... Vielen Dank für Ihren Beitrag!
@VladimirKalitvianski Ich habe das Schild nicht übersehen, es ist rot! :^)
Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/262183/2451 , physical.stackexchange.com/q/83190/2451 und Links darin.

Kirtpole · Answer 1

Dies liegt daran, wie die partiellen Ableitungen definiert sind. Wenn Sie die partielle Ableitung nach r betrachten, müssen Sie die Kettenregel in nicht berücksichtigen $\phi_{(r)}$ . Dies liegt daran, dass Sie r und berücksichtigen $\phi$ als unabhängige Koordinaten des Systems. Sie wenden die Kettenregel nicht auf unabhängige Koordinaten an.

Versuchen Sie, die Kettenregel auf anzuwenden $\frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{2} \mu r^2 \dot{\phi}_{(r)}^2 \right)$ mit $\dot{\phi}=\frac{l}{\mu r^2}$ und sehen Sie, dass Sie zu der gleichen falschen Antwort kommen werden.

Interessant... hätte ich gedacht, da können wir definieren $\dot{\phi}$ als Funktion von $r$ dass die Kettenregel gelten würde. Ich nehme an, die Unabhängigkeit jeder Variablen muss hier eine Schlüsselrolle spielen ... Danke für Ihre Antwort!
Kein Problem! Sehen Sie sich die Bearbeitung an, die ich vorgenommen habe, und überzeugen Sie sich davon, dass dies der Fall ist, wenn Sie möchten. Es ist ein bisschen seltsam, aber es macht Sinn, denn wenn Sie r und nicht berücksichtigen $\phi$ voneinander unabhängig zu sein, dann arbeiten Sie mit einem anderen Lagrange-Operator mit nur einem Freiheitsgrad
Ah ich sehe! Da die Lagrange-Funktion also mit zwei Freiheitsgraden definiert ist, muss diese Unabhängigkeit in den Variablen beibehalten werden, und daher $\dot{\phi}$ kann nicht als "Funktion" von betrachtet werden $r$ in diesem Sinne, obwohl sie verwandt sind $\dot{\phi} = \frac{l^2}{\mu r^2}$ .
Es ist also nur ein falscher Weg, einen Lagrange-Operator mit zwei Variablen zu einem Lagrange-Operator mit einer Variablen zu "vereinfachen". Die Bewegungsgleichungen kommen zuerst, die Lagrange-Operatoren folgen als nächstes.
Exakt. Lesen Sie mehr über Legendre-Transformationen, wenn Sie ein tieferes Verständnis dafür wünschen, wie sich Ableitungen und unabhängige Variablen verhalten.

Francesco Bernini · Answer 2

Die Lagrange-Gleichungen sind ein unabhängiger Satz von Gleichungen, der durch Ableitung der Lagrange-Funktion auf eine bestimmte Weise erhalten wird;

Damit die verschiedenen Gleichungen miteinander konsistent sind, muss die Funktion, von der Sie beim Ableiten ausgehen, für jede Gleichung gleich sein.

Was Sie getan haben, ist im Grunde das Einstecken des Ergebnisses der ersten Bewegungsgleichung (die in $\phi$ ) in der Lagrange-Funktion , bevor Sie die zweite Bewegungsgleichung berechnet haben (die in $r$ ), de facto durch Hinzufügen weiterer Komponenten modifiziert $r$ , die sonst nicht an der Ableitung teilgenommen hätten und das Endergebnis offensichtlich verändert hätten;

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