Verwirrung über das Auferlegen von Beschränkungen in der Aktion

Eine Sache verwirrt mich total. Ich weiß, dass mich das wahrscheinlich nicht verwirren sollte, aber im Moment weiß ich nicht genau, was an Folgendem fehlschlägt:

Angenommen, wir haben ein Teilchen mit Einheitsmasse, das sich in einem Potential bewegt v ( R ) in einem Flugzeug. Dann ist die Aktion, die man in Betracht ziehen würde, gegeben durch

S = ∫ D T [ 1 2 R ˙ 2 + 1 2 R 2 θ ˙ 2 − v ( R ) ] .
Deutlich, Q = R 2 θ ˙ , der Drehimpuls, erhalten bleibt, also die Bewegungsgleichung für R liest:
− R ¨ + Q 2 R 3 − v ' ( R ) = 0.

Bisher ist alles in Ordnung.

Aber jetzt beschließe ich, die Drehimpulserhaltung von Hand über einen Lagrange-Multiplikator aufzuerlegen λ :

S ' = ∫ D T [ 1 2 R ˙ 2 + 1 2 R 2 θ ˙ 2 − v ( R ) + λ ( T ) ( R 2 θ ˙ − Q ) ] ,
Wo Q ist eine Konstante.

Nach meinem Verständnis sollte sich diese Einschränkung als überflüssig erweisen, da der Drehimpuls bereits konstant ist. Aber irgendwie geht das nicht:

Erstens, Variation von S ' wrt λ trivial ergibt R 2 θ ˙ = Q . Als nächstes variiere ich bzgl θ und partiell integrieren. Ich bekomme

∫ D T [ − ∂ T ( R 2 θ ˙ ) − ∂ T ( λ ( T ) R 2 ) ] δ θ = 0 ,
dh
λ = − θ ˙ + C R 2
mit konstant C .

Und schließlich variiere ich bzgl R und bekomme:

0 = ∫ D T [ − R ¨ + R θ ˙ 2 − v ' ( R ) + 2 λ ( T ) R θ ˙ ] δ R

Unter Verwendung der obigen Bewegungsgleichungen kann ich die EoM umschreiben für R als:

− R ¨ − Q 2 R 3 − v ' ( R ) + 2 Q C R 3 = 0.

Es sei denn C = Q (dh λ = 0 zu jeder Zeit), ist dies nicht die ursprüngliche Bewegungsgleichung.

Aber warum ändert die redundante Einschränkung das Ergebnis? Habe ich die Physik geändert? Wenn ja, was ist die Interpretation hinter der Beschränkung und der Integrationskonstante? C ?

Antworten (1)

Der Grundgedanke.

Es ist sinnvoll, dass die "redundante" Einschränkung das Ergebnis modifiziert, denn wenn Sie den Lagrange-Multiplikator einführen, beschränken Sie Ihre Aufmerksamkeit nicht nur auf die Pfade, die die Einschränkung erfüllen, sondern Sie beschränken Ihre Aufmerksamkeit auch auf Variationen, die die Einschränkung beibehalten.

Ausführlicher.

Lassen Sie der Klarheit halber P sei die Menge aller zulässigen Pfade und sei P ' ⊆ P sei die Menge der zulässigen Wege, deren Drehimpulse konstant sind.

Wenn γ ist ein kritischer Punkt S , dann hat es folgende Eigenschaften:

  • (S1) Sein Drehimpuls ist konstant.
  • (S2) Wenn Sie sich in eine beliebige "Richtung" hineinbewegen P Weg von γ , dann die Aktion S ändert sich nicht zur ersten Bestellung.

Andererseits, wenn γ ist ein kritischer Punkt S ' , dann hat es die Eigenschaft (S1), aber (S2) wird jetzt durch Folgendes ersetzt:

  • (S'2) Wenn du dich in irgendeine "Richtung" hinein bewegst P ' Weg von γ , dann die Aktion S ändert sich nicht zur ersten Bestellung.

Beachten Sie, dass (S2) eine stärkere Anforderung als (S'2) ist, da (S'2) nur Störungen des Pfads zulässt, die seinen Drehimpuls konstant halten, also ist die Menge von Pfaden, die (S1) + (S2) erfüllen, erfüllt eine Teilmenge der Menge von Pfaden, die (S1) + (S'2) erfüllen. Genau das sehen Sie in Ihrer Mathematik.

Eine Analogie.

Stellen Sie sich eine zweidimensionale Oberfläche vor, wie die Erdoberfläche in der Nähe einer Bergkette, wo es eine Reihe von Hügeln und Tälern usw. gibt. Nehmen Sie nun an, jemand sagt Ihnen, Sie sollen alle Punkte auf der Oberfläche finden, für die Sie ein kleines Stück gehen müssen Betrag in eine beliebige Richtung entlang der Oberfläche von diesem Punkt weg, ändert sich die Höhe nicht in erster Ordnung, je nachdem, wie weit Sie gehen. Du tust dies und zu deiner Überraschung findest du an jedem dieser Punkte eine violette Blume. Wie seltsam!

Nehmen wir nun an, jemand gibt Ihnen eine zweite Aufgabe: Finden Sie jeden Punkt auf der Oberfläche, an dem es eine lila Blume gibt, so dass, wenn Sie in eine Richtung gehen, in der es auch lila Blumen gibt , die Elevation sich nicht in erster Ordnung ändert. In diesem Fall finden Sie möglicherweise eine Menge mehr Punkte als im vorherigen Fall, da es möglicherweise Punkte gibt, an denen sich eine violette Blume befindet, sodass sich die Höhe nicht ändert, wenn Sie sich in eine Richtung bewegen, in der sich violette Blumen befinden Reihenfolge, aber wenn Sie sich in eine andere Richtung bewegen, ändert sich die Höhe in die erste Ordnung.

Wenn Punkte auf der Oberfläche wie Pfade darin sind P , und Punkte, an denen es eine lila Blume gibt, sind wie Wege hinein P ' , dann ist die erste Aufgabe wie das Finden der kritischen Punkte von S , und die zweite Aufgabe ist wie das Finden der kritischen Punkte von S ' .

Ein verwandtes Beispiel.

Erwägen Sie, die Funktion zu optimieren

S ( X , j ) = X 2 + j 2 .
Diese Funktion hat einen einzigen kritischen Punkt am Ursprung ( 0 , 0 ) , ein globales Minimum.

Ziehen Sie stattdessen eine Optimierung in Betracht S der Einschränkung unterliegen ( X − 1 ) 2 + j 2 = 1 . Dies kann durch die Einführung eines Lagrange-Multiplikators erreicht werden λ und optimiert stattdessen die Funktion

S ' ( X , j ) = X 2 + j 2 + λ ( ( X − 1 ) 2 = j 2 − 1 ) .
Man stellt fest, dass es bei diesem eingeschränkten Optimierungsproblem immer noch ein globales eingeschränktes Minimum bei gibt ( 0 , 0 ) , aber jetzt gibt es auch ein globales eingeschränktes Maximum bei ( 2 , 0 ) !

UM eine Intuition für dieses Beispiel zu bekommen, versuchen Sie, ein Bild der durch definierten Oberfläche zu zeichnen z = F ( X , j ) und betrachten Sie dann die auf dieser Oberfläche liegende Kurve, die nur durch jene Punkte definiert ist, die die zusätzliche Beschränkung erfüllen. Sie sehen sofort, was los ist.

Hier, wie bei dem von Ihnen betrachteten Variationsproblem, liefert das Problem der beschränkten Optimierung mehr kritische Punkte als das Problem der uneingeschränkten.

Vielen Dank, Josh! Das ist eine sehr schöne und klare Antwort! Tatsächlich stellt sich heraus, dass ich einen entscheidenden Punkt für das, worüber ich als nächstes nachdenken möchte, verpasst habe: Betrachten einer QFT-Version dieses Problems unter dem Pfadintegral.
@psm Klare Sache! Übrigens habe ich gestern viel mehr über die Physik nachgedacht, und ich denke, dass Sie die Physik ändern , wenn Sie die Einschränkung einbeziehen, weil sich das "Zentrifugal" -Potenzial in Abhängigkeit vom Wert von ändert C . Durch Variieren des Wertes von C , können Sie Pfade finden, die die Drehimpulserhaltung erfüllen, die Sie vorher nicht hatten, weil Sie effektiv eine zusätzliche Zwangskraft hinzugefügt haben.
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