Wie können Sie dieses „Paradoxon“ lösen? Zentrales Potential

Das allgemeine Problem ist, dass Sie Ihre Bewegungsgleichungen nicht in die Lagrange-Funktion stecken und naiv erwarten können, dass Sie dieselben Bewegungsgleichungen wieder herausbekommen. Warum nicht? Betrachten wir Ihr konkretes Beispiel.

Für die übliche Geschichte beginnen wir mit

$$L = \frac12 m (\dot r^2 + r^2\dot\theta^2) - V(r) .$$ Wir finden, dass der Drehimpuls, definiert durch $\ell=m r^2\dot\theta$, bleibt erhalten, so dass die Bewegungsgleichung für die radiale Koordinate lautet $$m \ddot r - \frac{\ell^2}{m r^3} + \frac{\partial V}{\partial r} = 0.$$

Jetzt wollen Sie einstecken$\ell$zurück ins Lagrange. Wenn wir das tun, haben wir

$$L = \frac12 m \left( \dot r^2 + \frac{\ell^2}{m^2 r^2} \right) - V(r).$$ Naiv, wenn wir die Bewegungsgleichung aus dieser Lagrangefunktion berechnen, erhalten wir das entgegengesetzte Vorzeichen für die $\ell^2/m r^3$Begriff. Das ist nicht richtig!

Denken Sie daran, wenn wir anrufen$\ell$eine Erhaltungsgröße, wir meinen, es ist eine Konstante in der Zeit , das heißt$\dot\ell=0$. Explizites Ausschreiben der Euler-Lagrange-Gleichungen, die wir haben

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \left( \frac{\partial L}{\partial\dot r} \right)_{r,\theta,\dot\theta} \right] - \left( \frac{\partial L}{\partial r} \right)_{\dot r,\theta,\dot\theta} = 0.$$ Hier habe ich die Erinnerung eingefügt, dass wir mit partiellen Ableitungen meinen, dass „alles andere“ konstant gehalten wird und was dieses „alles andere“ ist. Beachten Sie das für das vorliegende Problem $$\frac{\partial\ell}{\partial r} = \frac{2\ell}{r} \ne 0$$ es ist also keine allgemeine Konstante. Wenn wir dies im Hinterkopf behalten, erhalten wir die richtige Bewegungsgleichung (wie wir müssen).

Craig J Copi hat bereits eine richtige Antwort gegeben. Hier werden wir eine andere Antwort geben, die auf der Hamiltonschen Formulierung basiert.

1. Erinnern Sie sich, dass der Lagrange-Operator eines nicht-relativistischen Punktteilchens in einem Zentralpotential in einer 2D-Ebene in Polarkoordinaten gelesen wird

   $$L~=~\frac{1}{2}m(\dot{r}^2 +r^2\dot{\theta}^2) - V(r).$$ Hier das Zentrifugalpotential$V_{\rm cf}=-\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2<0$ist negativ! Beachten Sie, dass das Zentrifugalpotential$V_{\rm cf}$begünstigt (= wird minimiert für) eine große radiale Position$r\to \infty$, wie man erwarten würde. Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

2. Die Momente sind dann

   $$p_{r}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}~=~m\dot{r}$$ Und $$p_{\theta}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}~=~mr^2\dot{\theta}.$$ Die Winkelstellung$\theta$ist eine Kreisvariable, also der konjugierte Impuls$p_{\theta}$(=der Drehimpuls) ist eine Bewegungskonstante.

3. Nun folgere, dass der Hamiltonoperator ist

   $$H~=~\frac{p_{r}^2}{2m}+\frac{p_{\theta}^2}{2mr^2}+ V(r).$$ Hier das Zentrifugalpotential$V_{\rm cf}=\frac{p_{\theta}^2}{2mr^2}>0$ist positiv! Beachten Sie, dass das Zentrifugalpotential$V_{\rm cf}$begünstigt (= wird minimiert für) eine große radiale Position$r\to \infty$, wie man erwarten würde.