Zentrifugalkraft und Polarkoordinaten

Question

Zentrifugalkraft und Polarkoordinaten

Benutzer1604449

In der Klassischen Mechanik sprechen sowohl Goldstein als auch Taylor (Autoren verschiedener Bücher mit demselben Titel) über den Zentrifugalkraftterm, wenn sie die Euler-Lagrange-Gleichung für das Zwei-Körper-Problem lösen, und ich bin etwas verwirrt darüber, was es genau bedeutet - ist es eine echte Zentrifugalkraft oder eine mathematische Folge der Verwendung von Polarkoordinaten zum Lösen der Euler-Lagrange-Gleichung?

Ihre Ableitungen der Lagrangian

L = \frac{1}{2} μ ({\dot{R}}^{2} + R^{2} {\dot{θ}}^{2}) - U (R)

$L=\frac{1}{2}\mu(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})-U(r)$ würde zu einer Bewegungsgleichung (Theta) führen, die zeigt, dass der Drehimpuls konstant ist, und zu einer radialen Bewegungsgleichung, die als gezeigt wird

μ \ddot{R} = - \frac{D U}{D R} + μ R {\dot{ϕ}}^{2} = - \frac{D U}{D R} + F_{C F} .

$\mu\ddot{r}=-\frac{dU}{dr}+\mu r\dot{\phi}^{2}=-\frac{dU}{dr}+F_{cf}.$ Sie rufen

μ r {\dot{ϕ}}^{2}

$\mu r\dot{\phi}^{2}$ die fiktive Kraft oder die Zentrifugalkraft. Ich bin ziemlich verschwommen in meiner Erinnerung an Nicht-Trägheitsrahmen, aber ich ging davon aus, dass fiktive Kräfte nur in Nicht-Trägheitsrahmen auftreten. Der Bezugsrahmen im Zwei-Körper-Problem wurde so gewählt, dass der Massenmittelpunkt der beiden Körper der Ursprung wäre, so dass dies ein Trägheitsrahmen wäre, und ich gehe davon aus, dass keine nicht-Trägheitsrahmen beteiligt sind, da keiner der Autoren hatte in den vorangegangenen Kapiteln darüber gesprochen.

Würde anrufen $\mu r\dot{\phi}^{2}$ eine tatsächliche Zentrifugalkraft dann falsch sein? Ist es nicht ein Begriff, der die Geschwindigkeit senkrecht zum Radius beschreibt? Aus diesem Zwei-Körper-Problem sieht es so aus, als ob, wenn ich Polarkoordinaten verwenden würde, wenn ich die Euler-Lagrange-Gleichungen für irgendein anderes Problem löse, der Fliehkraftterm immer erscheinen würde, also wäre es eine mathematische Folge der Wahl der Koordinate System, anstatt eine tatsächliche fiktive Kraft zu sein. Wird dieser Begriff Zentrifugalkraft genannt, weil es tatsächlich eine Zentrifugalkraft ist, oder weil er eine ähnliche mathematische Form hat?

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Zentrifugalkraft und Polarkoordinaten

QMechaniker · Answer 1

Es gibt zwei gleichwertige Beschreibungen $^1$ des reduzierten Zweikörperproblems mit zentralem Potential $V(r)$ :

In einem Inertialsystem ohne fiktive Kräfte: Hier $\frac{1}{2}\mu r^{2}\dot{\theta}^{2}$ ist der Winkelanteil der kinetischen Energie.
In einem rotierenden Rahmen nach dem reduzierten Partikel mit fiktiven Kräften und nur 1D-Radialkinematik: Hier $-\frac{1}{2}\mu r^{2}\dot{\theta}^{2}$ ist das Zentrifugalpotential (beachte das Minuszeichen!).

Jede Beschreibung führt zu derselben Lagrange-Funktion

L = T - U = L = \frac{1}{2} μ ({\dot{R}}^{2} + R^{2} {\dot{θ}}^{2}) - v (R) .

$L~=~T-U~=~L=\frac{1}{2}\mu(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})-V(r).$

$^1$ Das reduzierte Teilchen ist auf eine Bahnebene beschränkt, sodass das Problem effektiv nur zweidimensional durch zwei Koordinaten beschrieben wird $r$ Und $\theta$ . In beiden Beschreibungen dient der Schwerpunkt als Ursprung des Bezugssystems. Die Bewegung des Schwerpunkts selbst ist trivial, da es keine äußeren Kräfte gibt.

Ich sehe, was passiert ist. Es gibt also zwei Deutungen. Die erste ist die kinetische Energie bei der Ableitung unter Verwendung von Polarkoordinaten. Die zweite entsteht beim Wechsel zu einem 1-D-Problem. Dafür gibt es mehr als einen Weg: Bei Goldstein bezieht man Integration mit ein, die mühsam ist (Goldstein, 3. Aufl., S. 75), und die andere besteht darin, sie als ein fiktives 1-D-Problem zu betrachten (S. 76-77), was ist Einfacher. Dieses fiktive Problem ändert die Interpretation von $\frac{1}{2}\mu r^{2}\dot{\theta}^{2}$ von kinetischer Energie zu potentieller Energie, die durch potentielle Energie beigetragen wird. Ich denke, das wiederholt hauptsächlich das, was Sie gesagt haben.
@Qmechanic♦ Warum hast du gesagt, dass der Massenmittelpunkt der Ursprung des Referenzrahmens ist? Wenn Sie die reduzierte Masse verwenden $\mu$ , sollte nicht einer der beiden Körper der Ursprung des Systems sein?
$\uparrow$ @Sørën: Nein. (Beachten Sie, dass die Formulierung von Keplers erstem Gesetz auf Wikipedia das Verhältnis behandelt $m/M_{\odot}$ als Null, wodurch die Bewegung der Sonne ignoriert wird, was im obigen Zusammenhang möglicherweise verwirrend ist.)
@Qmechanic♦ Also stimmt der Massenmittelpunkt tatsächlich mit überein $M_{\odot}$ ?

Kunst Braun · Answer 2

Ich glaube du hast einen Schritt übersprungen...

Sobald Sie diesen Drehimpuls zeigen $l$ ist eine Konstante der Bewegung, die Sie eliminieren können $\dot{\theta}$ aus der zweidimensionalen Bewegungsgleichung und kommen zu einer Gleichung in nur 1 unabhängigen Variablen ( $r$ ):

μ \ddot{R} - \frac{l^{2}}{μ R^{3}} = - \frac{D U}{D R}

$\mu \ddot{r} - \frac{l^2}{\mu r^3} = -\frac{dU}{dr}$ Wenn Sie darüber nachdenken, ist dieser neue 1-dimensionale Raum tatsächlich ein nicht-träges System (wenn es träge wäre, würde die Masse darauf fallen

r = 0

$r=0$ ), daher ist es nicht verwunderlich, zusätzlich zum ursprünglichen Potentialgradienten einen neuen Kraftterm zu sehen.

Goldstein interpretiert den neuen Begriff dann als "die vertraute Zentrifugalkraft", indem er ihn umschreibt:

\frac{l^{2}}{μ R^{3}} = μ R {\dot{θ}}^{2} = \frac{μ v_{θ}^{2}}{R}

$\frac{l^2}{\mu r^3} = \mu r \dot{\theta}^2 = \frac{\mu v_\theta^2}{r}$

Und es stimmt: Diese neue Kraft ist tatsächlich eine der Nicht-Trägheitskräfte (der Fliehkraft), die entstehen, wenn man das Problem in einem rotierenden Koordinatensystem mit Winkelgeschwindigkeit analysiert $\omega=\dot{\theta}$ .

Nebenbei : Die anderen Nicht-Trägheitskräfte in einem rotierenden Rahmen entstehen aus zeitlich veränderlichen Größen. Es lässt sich zeigen, dass das gesamte Nichtträgheitspotential ein geschwindigkeitsabhängiges ist, analog zu dem des Elektromagnetismus:

U_{R Ö T} = μ {[- \frac{{(ω \times R)}^{2}}{2}] - \dot{R} \cdot (ω \times R)}

$U_{rot} = \mu \left\{ \left[ - \frac{\left( \boldsymbol{\omega \times r} \right)^2}{2} \right] - \boldsymbol{ \dot{r} \cdot \left( \boldsymbol{\omega \times r} \right) } \right\}$

Der erste Term gibt die Zentrifugalkraft an, der zweite die Coriolis- und Euler-Kräfte (if $\boldsymbol{\omega}$ ist nicht konstant).

Was für ein Zufall! Ich antwortete schließlich und es war die gleiche Zeit wie Sie. Ich habe nicht über den Trägheitsrahmen und die Masse nachgedacht, auf die er fällt $r = 0$ . Mehr Stoff zum Nachdenken. Danke!
@ user1604449: ja, es sieht so aus, als ob du an der gleichen Stelle angekommen bist ...

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Benutzer1604449

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