Zentrifugalkraft im Zweikörperproblem?

Question

Zentrifugalkraft im Zweikörperproblem?

Benutzer3741635

Beim Zwei-Körper-Problem ist die effektive radiale potentielle Energie in der allgemeinen Relativitätstheorie gegeben durch

v (R) = - \frac{G M M}{R} + \frac{L^{2}}{2 μ R^{2}} - \frac{G (M + M) L^{2}}{C^{2} μ R^{3}}

$V(r)=-\frac{G M m}{r}+\frac{L^{2}}{2\mu r^{2}}-\frac{G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}$ wobei der zweite Term die potentielle Zentrifugalenergie ist.

Erstens bin ich etwas verwirrt über den zweiten Term, weil aus meinem Studium der klassischen Physik der Zentrifugalterm nur entsteht, wenn wir die Gleichungen in einer gedrehten Bezugsrahmenlösung lösen, aber der zweite Term scheint auch ohne diese Annahme zu erscheinen. Wenn man zum Beispiel die potentielle Energie in einer Schwartzchild-Metrik findet, scheint auch der zweite Term zu erscheinen. Übersehe ich hier etwas?
Zweitens treten in einem gedrehten Bezugssystem zwei "fiktive" Kräfte auf, die Zentrifugalkraft $F_{C e N T} = - M Ω \times (Ω \times R)$ $F_{cent}=-m\,\Omega\times(\Omega\times r)$ und die Coriolis-Kraft $F_{C Ö R} = - M Ω \times \frac{D R}{D T}$ $F_{Cor}=-m\,\Omega\times\frac{dr}{dt}$ Ist $F_{cent}$ gleich der Ableitung des zweiten Terms in $V(r)$ und wenn ja dann wie, weil sie für mich ganz anders aussehen?

Auxsvr

Die Bewegungsgleichung für das 2-Körper-Problem wird üblicherweise im Bezugssystem mit ruhendem Massenschwerpunkt angegeben. Wie sind Sie zu dem Schluss gekommen, dass es rotiert?

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Zentrifugalkraft im Zweikörperproblem?

Die Bewegungsgleichung für das 2-Körper-Problem wird üblicherweise im Bezugssystem mit ruhendem Massenschwerpunkt angegeben. Wie sind Sie zu dem Schluss gekommen, dass es rotiert?

Dirakologie · Answer 1

Das Zentrifugalpotential ist nichts anderes als der Winkelanteil der kinetischen Energie des (massereduzierten) Teilchens. Um dies zu sehen, schreiben Sie die Lagrange-Funktion in Polarkoordinaten,
$L = T - v = \frac{μ}{2} ({\dot{R}}^{2} + R^{2} {\dot{ϕ}}^{2}) - v (R) .$ $L=T-V=\frac{\mu}{2}\left(\dot r^2+r^2\dot\phi^2\right)-V(r).$ Seit $\phi$ eine zyklische Koordinate ist , bleibt ihr konjugierter Impuls (der Drehimpuls) erhalten $P_{ϕ} = \frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}} = μ R^{2} \dot{ϕ} = Konstante .$ $p_\phi=\frac{\partial L}{\partial \dot\phi}=\mu r^2\dot\phi=\mbox{constant}.$ Diese Beziehung entfällt $\dot\phi$ aus dem Lagrange,
$L = \frac{μ}{2} {\dot{R}}^{2} + \frac{P_{ϕ}^{2}}{2 μ R^{2}} - v (R) .$ $L=\frac{\mu}{2}\dot r^2+\frac{p_\phi^2}{2\mu r^2}-V(r).$ Beachten Sie, dass der zweite Term auf der RHS zwar ein kinetischer Term ist, aber nicht explizit von Geschwindigkeiten abhängt, sodass er als potenzieller Term neu interpretiert werden kann. $L = \frac{μ}{2} {\dot{R}}^{2} - v (R)_{e F},$ $L=\frac{\mu}{2}\dot r^2-V(r)_{\mathrm{ef}},$ wo das effektive Potenzial $V(r)_{\mathrm{ef}}$ ist die Summe aus dem sogenannten Zentrifugalpotential und dem Wechselwirkungspotential, $v (R)_{e F} = \frac{P_{ϕ}^{2}}{2 μ R^{2}} - v (R) .$ $V(r)_{\mathrm{ef}}=\frac{p_\phi^2}{2\mu r^2}-V(r).$ Das ist ein allgemeines Verfahren, immer wenn man eine zyklische Variable hat, kann man ihre zugehörigen kinetischen Terme ohne explizite Geschwindigkeiten schreiben und sie somit als potentielle Terme interpretieren .
Die Bewegungsgleichung für die Radialkoordinate lautet
$μ \ddot{R} = - \frac{\partial v (R)_{e F}}{\partial R} = \frac{P_{ϕ}^{2}}{μ R^{3}} - \frac{\partial v (R)}{\partial R} .$ $\mu\ddot r=-\frac{\partial V(r)_{\mathrm{ef}}}{\partial r}=\frac{p_\phi^2}{\mu r^3}-\frac{\partial V(r)}{\partial r}.$ Der zweite Term auf der rechten Seite ist ein abstoßender Term und entspricht der Zentrifugalkraft, $\frac{P_{ϕ}^{2}}{μ R^{3}} = μ R {\dot{ϕ}}^{2} = | - μ \vec{Ω} \times (\vec{Ω} \times \vec{R}) |,$ $\frac{p_\phi^2}{\mu r^3}=\mu r \dot\phi^2=|-\mu\vec\Omega\times(\vec\Omega\times\vec r)|,$ seit $\vec\Omega=\dot\phi \vec e_k$

Zentrifugalkraft im Zweikörperproblem?

Benutzer3741635

Auxsvr

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Dirakologie

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