Lagrangesche Bewegungsgleichungen, Konservative Kräfte

Die verallgemeinerten Lagrange-Gleichungen sind

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial T}{\partial q_j}=Q_j \tag{1}$$ Wo $T$ist die kinetische Energie des Systems und $Q$ist die verallgemeinerte Kraft. Dies ist das allgemeinste EoM und entspricht dem von Newton $F_j=m\ddot x_j$.

Nun, wenn die verallgemeinerte Kraft geschrieben werden kann als

$$Q_j = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial V}{\partial q_j} \tag{2}$$ dann können wir das einstecken $(1)$: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial T}{\partial q_j}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial V}{\partial q_j} \tag{3}$$

Wenn wir definieren$L\equiv T-V$,$(3)$kann umgeschrieben werden als

$$\frac{\partial L}{\partial q_j} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = 0 \tag{4}$$ und wir erhalten die Euler-Lagrange-Gleichungen.

Zusammenfassend: Der allgemeinste Ausdruck ist$(1)$, was für jede Kraft gilt$Q$. Im speziellen Fall wo$Q$kann geschrieben werden als$(2)$, dann erhalten wir die vereinfachte Form$(4)$. Der wichtige Punkt ist das$(2)$gilt immer für die relevanten Kräfte, die Sie studieren werden, was bedeutet, dass$(4)$ist die wichtige Gleichung, die Sie sich merken müssen.

Beachten Sie, dass$(2)$sieht ziemlich nach der Bedingung für eine konservative Kraft aus

$$F_i=-\frac{\partial V}{\partial q^i}\tag{5}$$ und ist in der Tat allgemeiner als es: Es umfasst Potentiale, die von der Geschwindigkeit abhängen können, wie z. B. die Wechselwirkung geladener Teilchen mit dem elektromagnetischen Feld.