Ich werde die Notation ändern, um die Gleichungen kompakter zu machen. Das Gegengewicht ist$M$und die Nutzlast ist$m$. Die Länge des Balkens ist$L$und der Abstand des Schwerpunkts zum Gegengewicht ist$a=\frac{m}{M+m}\,L$und von der Nutzlast$b=\frac{M}{M+m}\,L$so dass$L=a+b$. Beachten Sie, dass ich noch nichts über den Drehpunkt gesagt habe.

Der Abstand zwischen dem Drehpunkt und dem Schwerpunkt ist$c$und es ist eine unabhängige Variable, die wir optimieren möchten. Der Drehpunkt liegt zwischen dem Schwerpunkt und der Nutzlast (für positiv$c$). Der Winkel der Stange ist$\theta$mit$\theta=0$wenn horizontal.

Die Höhe des Drehpunktes vom Boden ist$h$so dass, wenn das Gegengewicht auf dem Boden auftrifft, die Nutzlast gestartet wird$\theta_{f} = -45^\circ$. So$h=(a+c) \sin(- \theta_f$). Als Folge ist der Anfangswinkel$\sin \theta_i = \frac{a+c}{b-c} \sin(- \theta_f )$damit die Nutzlast zunächst im Boden ruht. Dies gilt für$c<\frac{b-a}{2}$, sonst sitzt das Ding senkrecht mit$\theta_i=\frac{\pi}{2}$.

Wenn Sie die Dynamik unter Verwendung der Newtonschen Gesetze oder der Langrange-Gleichungen durchführen, erhalten Sie die folgende Beschleunigungsformel

$$\ddot{\theta} = -\,\frac{c g (M+m) \cos(\theta)}{\frac{m M}{M+m} L^2 + (M+m) c^2}$$

Der Nenner ist das Trägheitsmoment um den Drehpunkt. Hier ist das lustige Zeug. Das Obige kann integriert werden, da die rechte Seite eine Funktion von ist$\theta$nur mit Konstante$\alpha$:

$$\ddot{\theta}=\frac{{\rm d}\dot\theta}{{\rm d}t} =-\alpha \cos(\theta)$$ $$\frac{{\rm d}\dot\theta}{{\rm d}\theta} \frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t} = -\alpha \cos(\theta)$$ $$\frac{{\rm d}\dot\theta}{{\rm d}\theta} \dot\theta = -\alpha \cos(\theta)$$ $$\int \dot\theta {\rm d}\dot\theta =-\int \alpha \cos(\theta) {\rm d}\theta + K$$ $$\frac{{\dot \theta}^2}{2} = -\alpha \sin \theta + K$$

mit$K$basierend auf den Anfangsbedingungen ($\theta=\theta_i$,$\dot\theta=0$)

$$\dot\theta = \sqrt{2 \alpha (\sin(\theta_i)-\sin(\theta))}$$

und Enddrehzahl

$$\dot\theta_f = \sqrt{2 \alpha (\sin(\theta_i)-\sin(\theta_f))}$$

tangential ist die Startgeschwindigkeit der Nutzlast

$$v_{B_f} = (b-c) \dot\theta_f = (b-c) \sqrt{2 \alpha (\sin(\theta_i)-\sin(\theta_f))}$$

mit beiden$\alpha$Und$\theta_i$je nach Variable$c$.

Zur Optimierung setzen wir$\frac{{\rm d}v_{B_f}}{{\rm d}c}=0$was gelöst ist nach:

$$\frac{c}{L} = \frac{\sqrt{m} \left( \sqrt{M+m}-\sqrt{m} \right)}{M+m }$$

Zum Beispiel ein$m=20 {\rm lbs}$Nutzlast, mit a$M=400 {\rm lbs}$Gegengewicht auf a$L=20 {\rm ft}$bar, erfordert, dass der Drehpunkt ist$c=20\;\frac{\sqrt{20} \left( \sqrt{420}-\sqrt{20} \right)}{420 } = 3.412\;{\rm ft}$aus dem Schwerpunkt. Das CG ist$a=\frac{20}{420}\,20 = 0.952 {\rm ft}$vom Gegengewicht.

Bearbeiten 1

Basierend auf Kommentaren des OP ist die Startgeschwindigkeit

$$v_{B_{f}}=\left(\frac{M}{M+m}L-c\right)\sqrt{\frac{2cg(M+m)}{\frac{M}{M+m}L^{2}+(M+m)c^{2}}\left(\sin\theta_{i}-\sin\theta_{f}\right)}$$ Wo $g=9.80665\,{\rm m/s}$ist Schwerkraft.

Mit unendlichem Gegengewicht ist die maximale Startgeschwindigkeit$\max(v_{B_{f}})=\sqrt{\frac{2g(L-c)^{2}}{c}}$also zu erreichen$v_{B_{f}}=6000\,{\rm m/s}$von der Erde, wenn$c=1\,{\rm m}$Dann$L>1355.8\,{\rm m}$.

Bei unendlicher Stangenlänge ist die maximale Startgeschwindigkeit$\max(v_{B_{f}})=\sqrt{\frac{2Mcg}{m}}$also zu erreichen$v_{B_{f}}=6000\,{\rm m/s}$von der Erde, wenn$c=1\,{\rm m}$Dann$M>18.3\,10^{6}\,{\rm kg}$.

Also lasst uns überlegen$L=2000\,{\rm m}$Und$M=40.0\,10^{6}\,{\rm kg}$dann wählen wir den Pivot-Standort bei$c=1.500\,{\rm m}$zu bekommen

$$v_{B_{f}}=(1999.999-1.5)\sqrt{2\;4.526\left(\sin\theta_{i}-\sin\theta_{f}\right)}$$ was gelöst ist $v_{B_{f}}=6000\,{\rm m/s}$Wenn $\sin\theta_{i}-\sin\theta_{f}=0.9957$mit $\theta_{i}>0$Und $\theta_{f}<0$.

Dies habe ich bisher ausgearbeitet, bin mir aber nicht sicher, ob sie korrekt sind oder ob ich den richtigen Weg verwende, um die Geschwindigkeit des Projektils durch das Drehmoment am Drehpunkt abzuleiten. Andere Antworten wären willkommen, zusätzlich zur Überprüfung und Korrektur von Fehlern, die ich in diesen Gleichungen/Methodik habe.

Potenzielle Energie

${PE}_{weight} = gm_{weight}*(h_{weight}(\theta_0) - h_{weight}(\theta_{launch}))$

${PE}_{weight} = gm_{weight}(l_{shortArm}cos(\theta_0) - l_{shortArm}cos(\theta_{launch}))$

${PE}_{weight} = gm_{weight}l_{shortArm}(cos(\theta_0) - cos(\theta_{launch}))$

${PE}_{projectile} = gm_{projectile}*(h_{projectile}(\theta_0) + h_{projectile}(\theta_{launch})$

${PE}_{projectile} = gm_{projectile}l_{longArm}(cos(\theta_{launch}) - cos(\theta_0))$

${PE}_{system} = {PE}_{weight} + {PE}_{projectile}$

${PE}_{system} = \small{g(m_{weight}l_{shortArm}(cos(\theta_0) - cos(\theta_{launch})) + m_{projectile}l_{longArm}(cos(\theta_{launch}) - cos(\theta_0))}$

Kräfte

$Force\;On\;Pivot = {Torque}_{weight} - {Torque}_{projectile}$

$F_{pivot} = \tau_{weight} - \tau_{projectile}$

$F_{pivot} = r(F_{weight}-F_{projectile})sin(\theta)$

$F_{pivot} = g*sin(\theta)(l_{shortArm}m_{weight}-l_{longArm}m_{projectile})$

$Torque\;On\;Projectile = {Torque}_{projectile} = \tau_{projectile}$

$\tau_{projectile} = r * F_{pivot}$

$\tau_{projectile} = l_{longArm}(l_{shortArm}m_{weight}-l_{longArm}m_{projectile})g*sin(\theta)$

Distanz

$d_{projectile} = l_{longArm}cos(\theta_0 - \theta_{launch})$

Geschwindigkeit

$v_{projectile} = \sqrt{v_{initial}^2 + 2a_{projectile}d_{projectile}}$

$v_{projectile} = \sqrt{\frac{2\tau_{projectile}d_{projectile}}{m_{projectile}}}$

$v_{projectile} = \sqrt{\frac{2l_{longArm}(l_{shortArm}m_{weight}-l_{longArm}m_{projectile})g*sin(\theta_0 - \theta_{launch})l_{longArm}cos(\theta_0 - \theta_{launch})}{m_{projectile}}}$

$v_{projectile} = \sqrt{2g*sin(\theta_0 - \theta_{launch})cos(\theta_0 - \theta_{launch})(\frac{l_{longArm}l_{shortArm}m_{weight}}{m_{projectile}} - l_{longArm}^{~3})}$

$v_{projectile} = \sqrt{g*sin(\frac{\theta_0 - \theta_{launch}}{2})(\frac{l_{longArm}l_{shortArm}m_{weight}}{m_{projectile}} - l_{longArm}^{~3})}$

Kinetische Energie

${KE}_{projectile} = \frac{1}{2}m_{projectile}v_{projectile}^{~2}$

${KE}_{projectile} = \frac{1}{2}m_{projectile}(g*sin(\frac{\theta_0 - \theta_{launch}}{2})(\frac{l_{longArm}l_{shortArm}m_{weight}}{m_{projectile}} - l_{longArm}^{~3}))$

${KE}_{projectile} = \frac{g}{2}m_{projectile}sin(\frac{\theta_0 - \theta_{launch}}{2})(\frac{l_{longArm}l_{shortArm}m_{weight}}{m_{projectile}} - l_{longArm}^{~3})$

${KE}_{projectile} = \frac{g}{2}sin(\frac{\theta_0 - \theta_{launch}}{2})(l_{longArm}l_{shortArm}m_{weight} - l_{longArm}^{~3}m_{projectile})$

Effizienz

Somit können wir die Effizienz des gesamten Systems berechnen durch:

$Efficiency = \frac{E_{out}}{E_{in}} = \frac{{KE}_{projectile}}{{PE}_{system}}$

$Efficiency = \frac{\frac{g}{2}sin(\frac{\theta_0 - \theta_{launch}}{2})(l_{longArm}l_{shortArm}m_{weight} - l_{longArm}^{~3}m_{projectile})}{g(m_{weight}l_{shortArm}(cos(\theta_0) - cos(\theta_{launch})) + m_{projectile}l_{longArm}(cos(\theta_0) + cos(\theta_{launch}))}$

$Efficiency = \frac{1}{2}\frac{sin(\frac{\theta_0 - \theta_{launch}}{2})(l_{longArm}l_{shortArm}m_{weight} - l_{longArm}^{~3}m_{projectile})}{m_{weight}l_{shortArm}(cos(\theta_0) - cos(\theta_{launch})) + m_{projectile}l_{longArm}(cos(\theta_0) + cos(\theta_{launch}))}$