Nachdem ich einen Laienleitfaden zur Allgemeinen Relativitätstheorie gelesen hatte, begann ich mich zu fragen, welche Form eine Bowlingkugel auf einer großen Gummiplatte erzeugen würde. Der Einfachheit halber möchte ich annehmen, dass für Gummi das Hookesche Gesetz gilt.
Folgendes habe ich bisher gemacht:
Der 1-dimensionale Fall ist eine Masse in der Mitte an einem Gummiband mit Länge aufgehängt und Federkonstante . In diesem Fall würde das Band eine V-Form erzeugen, bei der der Winkel in der Mitte (zwischen dem Band und der Horizontalen) durch eingeschränkt wird , und die Spannung hängt mit dem Ausmaß der Dehnung nach dem Hookeschen Gesetz zusammen und gibt nach .
Ich bin mir jedoch nicht sicher, wie ich im 2-dimensionalen Fall vorgehen soll. Kann man eine Gummiplatte als ein unendlich feines Geflecht aus Gummibändern betrachten? Intuitiv, aus einiger Entfernung Vom Massenpunkt aus scheint es, dass die Masse im Radiuskreis gleichmäßig vom Material getragen werden muss , also hätten wir . Dies bedeutet jedoch, dass als , wir haben , was nicht physikalisch ist (ich denke, die Spannung sollte überall im Blatt konstant sein.)
Was ist der richtige Weg, um die Form einer Gummiplatte mit einer Punktmasse darauf zu modellieren?
Die Verallgemeinerung des Hookeschen Gesetzes auf zwei Dimensionen erfordert die Einführung der Poisson-Zahl : Wenn Sie ein Material in eine Richtung dehnen, neigt es dazu, sich in senkrechten Richtungen zusammenzuziehen. Die radiale Spannung durch das Gewicht des Balls erzeugt also eine Umfangskontraktion, die eine Umfangsspannung erzeugt, um dies zu kompensieren.
An jedem Punkt Ihrer Gummiplatte wird also Spannung in zwei senkrechten Richtungen vorhanden sein, und da die resultierende Oberfläche eine Rotation sein wird, hat jede andere Form als eine horizontale Ebene mindestens eine Krümmung ungleich Null. Krümmung plus Spannung bedeutet Kraft senkrecht zur Oberfläche, es sei denn, Ihre Oberflächenhauptkrümmungen haben entgegengesetzte Vorzeichen, und wenn sie mit der entsprechenden Spannung zusammengesetzt sind, kompensieren sie sich gegenseitig.
Hätte man statt einer Gummifolie einen Seifenfilm, so führt dies zu der bekannten minimalen Rotationsfläche, dem Catenoid . Aber bei einer Gummiplatte wird die mittlere Krümmung nicht genau Null sein, und daher wird die Form davon verschieden sein, obwohl mit dem gleichen allgemeinen Aspekt: radial muss sie sich von der Rotationsachse weg krümmen, um die Umfangskrümmung zu kompensieren.
Ich habe wahrscheinlich nur mehr Verwirrung hinzugefügt, aber die Form in zwei Dimensionen wird definitiv kein Kegel sein.
Die Schwerkraft gehorcht nicht dem Hookeschen Gesetz, sondern ist ein umgekehrtes Potenzgesetz (um genau zu sein umgekehrtes Quadrat). Die Gummituch-Analogie dient nur dazu, die gekrümmte Natur des Raums zu zeigen. Die Gummiplatte wäre, wie Sie vorgeschlagen haben, mit einer geraden Neigung.
Benutzer10851