Wie verteilt sich die Normalkraft entlang der Kontaktfläche?

Helfen Sie mir, diesen Streit beizulegen.

Eine Masse M wird auf ein dünnes Sprungbrett gestellt. Die Basis des Sprungbretts hat Masse M >> M . Kippt das Brett?

Ich habe die folgende FBD gezeichnet und bin zu dem Schluss gekommen, dass kein Nettodrehmoment vorhanden ist.

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Mein Freund denkt die Normalkraft N wird an einem anderen angewendet werden X - vielleicht koordinieren X = D 1 / 2 . Dies würde zu einem Nettodrehmoment führen. Wie kann ich ihm mit den Gesetzen der klassischen Mechanik das Gegenteil beweisen?

Natürlich wird die Normalkraft nicht an einem einzelnen Punkt aufgebracht. Es verteilt sich über die gesamte Kontaktfläche. Ist es möglich, die Kraftverteilung zu berechnen? N ( X ) ? Wir konnten dies experimentell messen, indem wir viele kleine Skalen unter der Basis platzierten.

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Für eine vollständige Antwort (ein oder zwei Schritte darüber hinaus, wo Sie sich in der Progression befinden) müssen Sie die Verzerrung aller relevanten Teile berücksichtigen. Wenn Sie sich auf einem technischen Weg befinden, nehmen Sie wahrscheinlich Statik und sie werden das Problem explizit ansprechen. Wenn Sie sich auf einer Physikstrecke befinden, werden sie Ihnen wahrscheinlich nie die Vollversion zeigen; in diesem Fall leihen Sie sich ein Statikbuch vom nächsten befreundeten Ingenieur.

Antworten (3)

Ich denke, Sie machen dieses Problem komplizierter als es sein muss, um einfach festzustellen, ob die Baugruppe umkippen wird oder nicht. Die räumliche Verteilung der Kräfte, die der Tisch oder Boden auf die Baugruppe ausübt, braucht man eigentlich nicht. Alles, was Sie beachten müssen, ist, dass, wenn der Drehpunkt bei x = D1 liegt, der Boden das erforderliche Gegendrehmoment ausübt, um zu verhindern, dass sich die Baugruppe gegen den Uhrzeigersinn um den Drehpunkt dreht.

Sie müssen also nur die Drehmomente berechnen, die die Masse m und die Masse M um den Drehpunkt beitragen. Wenn die Summe dieser beiden Drehmomente im Gegenuhrzeigersinn wirkt, übt der Boden ein Gegendrehmoment der gleichen Größe, aber in der entgegengesetzten Richtung aus, um zu verhindern, dass sich die gesamte Baugruppe im Gegenuhrzeigersinn dreht. Wirkt dagegen die Summe der beiden Drehmomente aus m und M im Uhrzeigersinn, so spielt der Untergrund für das Gegenmoment keine Rolle und die gesamte Baugruppe kippt im Uhrzeigersinn um den Drehpunkt.

Die Berechnung des Gesamtdrehmoments aufgrund von m und M sollte nicht schwierig sein. Zum Zwecke der Berechnung des Drehmoments aufgrund von M können Sie nur eine einzelne Kraft der Größe Mg (wobei g die Erdbeschleunigung ist) annehmen, die an ihrem Massenmittelpunkt nach unten wirkt.

Dies ist die einfachste Antwort und eine gute Annäherung, wenn kein Material durch die wirkenden Kräfte merklich verformt wird, falls es doch kippt .
+1 von mir. Das ist viel einfacher als das, was zum Teufel ich geschrieben hatte. Es macht auch intuitiv Sinn.

Wenn kein Drehmoment vorhanden ist, dann

∑ τ = R 1 × F M + R 2 × F M = 0
Deshalb,
(1) R 1 × M G + R 2 × M G = 0
Wo R ich bezeichnet die Position des Massenschwerpunkts des kombinierten Systems relativ zur aufgebrachten Kraft. Wenn wir die Boxmaße angeben H Und l , der Ball einen Radius R , und sagen, dass sich die Rampe über eine Strecke erstreckt D aus X = 0 , Dann
X C M = 1 2 l M + ( 1 2 l + D − 1 2 R ) M M + M
Und
j C M = 1 2 H M + ( H + 1 2 R ) M M + M
( X C M , j C M ) sind die Koordinaten des Massenmittelpunkts. Dann kannst du rechnen R 1 Und R 2 . Wenn ( 1 ) hält, dann hast du recht; wenn nicht, hat dein freund recht.

Berücksichtigt dies das von der Normalkraft N ausgeübte Drehmoment?
@tba Nein, tut es nicht.

Drehmoment? Warum denkst du, dass du über das Drehmoment nachdenken musst?

Liegt der Schwerpunkt über der Stützbasis? Es ist wenn 0 < M D 1 / 2 + M D 2 < D 1 . Dh wenn − M D 1 2 D 2 < M < D 1 D 2 ( 1 − M / 2 ) .

(+1) Dies ist eine großartige, prägnante Antwort, aber ich suche nach einer Lösung, die direkt aus den Gesetzen der klassischen Mechanik abgeleitet werden kann.
Das ist unaufrichtig. Die Lage des Massenmittelpunkts ergibt sich aus der Berücksichtigung von Kraftmomenten. Und die Bedingung für Stabilität, dass das CM „über“ der Basis des Objekts sein muss, wird auch durch die Berücksichtigung von Momenten abgeleitet. Diese Antwort wendet eine allgemeine Bedingung an (CM "über" der Basis), ohne zu erklären oder anzuerkennen, woher sie kommt.
@sammygerbil: Ich weise Ihre Behauptung zurück, dass alle Antworten von Grundprinzipien abgeleitet werden müssen. Wir müssen nicht alle abgeleiteten Ergebnisse vergessen, nur weil wir Antworten auf SE veröffentlichen.
Wie verteilt sich die Normalkraft entlang der Kontaktfläche?
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