Warum dreht sich ein Stab?

Nun, du hast Recht. Der andere Lehrer hat nur Recht, wenn er eine massive Rute in Betracht zieht. Wenn er außerdem einen massiven Stab in Betracht zieht, hat er nur Recht, wenn er das infinitesimale Zeitintervall während der Kollision berücksichtigt, nicht danach, und auch nur für eine ganz bestimmte Kombination von Parametern - es ist eigentlich ziemlich subtil!

Hier ist der Grund. Da der Stab in Ihrem Szenario masselos ist, können die beiden Massen während der Kollision einfach als frei gedacht werden. Dieses Szenario haben Sie in Ihrem Beitrag ausgearbeitet. Dann, beginnend unmittelbar nach der Kollision, dient der Stab dazu, die Bewegung einfach auf die eines Kreises zu beschränken. Daher benötigen wir die Spannkraft, um die Zentripetalkraft bereitzustellen, wie Sie analysiert haben.

Ok, jetzt wollen wir sehen, warum der andere Lehrer Recht haben könnte. Wenn der Stab massiv ist, dann ist der Schwerpunkt (er plus die Masse am Ende) nicht am Ende. Sagen Sie, dass es eine gewisse Entfernung ist$x$weg von dem Ende, an dem die Masse befestigt ist (oder gleichwertig$L-x$weg vom Scharnier). Nehmen wir außerdem an , dass der Stab eine gleichmäßige Dichte hat. Das Entfernen dieser Annahme macht das Problem viel schwieriger, aber es ist immer noch handhabbar.

Was die Kollision bewirkt, ist, dass sie eine unendliche Kraft liefert$F$, aber mit endlichem Impuls (denken Sie an die Delta-Funktion). Nehmen wir an, dass das Scharnier auch eine unendliche Kraft liefert$F'$mit endlichem Impuls, in die entgegengesetzte Richtung. Wir werden sehen, ob diese Kraft$F'$Ist$0$.

Der abgegebene Impuls ist

$$\begin{align} J = \int F - F' dt. \end{align}$$ Aber das wissen wir, wenn die Masse, die auf den Stab+Masse trifft, ihren lustigen Weg mitnimmt $v/2$(obwohl die Situation etwas unphysikalisch ist, da sie sich auf die andere Seite „teleportieren“ müsste), dann muss der Stab + Masse-Aufbau durch Impulserhaltung eine Geschwindigkeit erlangen $$\begin{align} v' = \frac{m}{M(x)+m}\frac{v}{2}, \end{align}$$ Wo $M(x)$ist die Masse des Stabes. ( $M$ist eigentlich eine Funktion von $x$, denn sobald Sie angeben, wo sich der Massenmittelpunkt befindet, haben Sie die Masse des Stabs angegeben und umgekehrt.)

Denn der Impuls bewirkt eine Impulsänderung des Systems Masse+Stab$J = (M+m)\Delta v$, wir haben

$$\begin{align} J = m \frac{v}{2}. \end{align}$$

Neben einem linearen Impuls liefern diese beiden Kräfte auch einen Rotationsimpuls, der die Masse+Stange in Drehung versetzt. Das ist,

$$\begin{align} (L-x)\int F' dt + x \int F dt = I(x) \omega, \end{align}$$ Wo $I(x)$ist das Trägheitsmoment des Masse+Stab-Systems um seinen gemeinsamen Massenmittelpunkt, gegeben durch den Parallelachsensatz: $I(x) = \frac{ML^2}{12} + M(L/2 - x)^2 + mx^2$.

Ok, das ist etwas chaotisch. Aber machen wir weiter. Lassen Sie uns herausfinden, was$\omega$Ist. Multiplizieren$J$von$-x$und addieren es zur letzten Gleichung, erhalten wir

$$\begin{align} & L\int F' dt = I(x)\omega -xm \frac{v}{2} \end{align}$$ Wenn jetzt $\omega (L-x) = v'$, dh dass die Geschwindigkeit des Punktes Stab+Masse am Gelenk, die die Summe aus Translationsgeschwindigkeit plus Rotationsgeschwindigkeit ist $0$, Dann $F' = 0$.

Alle diese Analysen wurden nun im infinitesimalen Zeitintervall während der Kollision durchgeführt. Kurz nach der Kollision, sobald sich alles beruhigt hat. Dann haben wir unabhängig von der Situation, in der wir uns befinden$\omega(L-x) = v$. Dann ist die Kraft des Scharniers auf die Stange aufgrund der Anforderungen an die Kreisbewegung tangential zur Bewegung.

Ok, lange Rede kurzer Sinn: Wenn Sie kurz nach der Kollision sprechen, dann wird es keine horizontale Kraft geben. Wenn Sie während der Kollision sprechen, wenn die Stange masselos ist, wird es keine horizontale Kraft geben. Wenn Sie während der Kollision sprechen und die Stange massiv ist, tritt im Allgemeinen eine horizontale Kraft auf.

Dein Lehrerfreund hätte Recht, wenn der Stab nicht masselos wäre .

Nehmen wir an, der Stab hat eine endliche Masse. In diesem Fall würde der Massenmittelpunkt (COM) des Stangen-/Befestigungsgewichtssystems (das ich von nun an als Pendel bezeichnen werde) irgendwo zwischen dem befestigten Gewicht und dem Scharnier liegen.

Befindet sich die COM nicht genau am Kollisionspunkt, würde zusätzlich zur Linearbeschleunigung der Masse ein Drehmoment auf das Pendel wirken. Das Pendel wird also versuchen, sich um seine COM (sowie um das Scharnier) zu drehen. Diese Drehung wird durch das Scharnier verhindert, das ein gleiches und entgegengesetztes Drehmoment und daher eine horizontale Kraft aufbringen muss (die kleiner als die Kollisionskraft ist, da sie weiter von der COM entfernt ist als der Kollisionspunkt).

Jetzt ist Ihre Stange masselos, sodass die Kraft direkt durch den COM des Pendels ausgeübt wird, daher kein Drehmoment und keine horizontale Scharnierkraft. Die einzigen Kräfte auf das Scharnier sind die Zentripetalkraft aufgrund der Masse, die jetzt eine Rotationsgeschwindigkeit hat, und das Gewicht der Masse, die auch vor der Kollision dort war.

$$\boldsymbol{F}_{hinge} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ mg + \frac{m}{l}\left(\frac{v}{2} \right)^2 \end{array} \right)$$ Keine horizontale Kraft, vertikale Kraft ist Gewicht + Zentripetalkraft. Das Obige gilt nur, wenn sich das Pendel direkt unter dem Scharnier befindet.

Die Antwort des anderen Lehrers ist nur in einer Situation mit Energieverlusten durch Reibung richtig.

Wenn Energie gespart werden soll, dürfen keine äußeren Kräfte parallel zur Bewegung beim Aufprall auf das System einwirken, und daher muss die einzige Kraft, die beim Aufprall auf den Stab wirkt, vertikal sein.