Finden Sie die Widerstandskraft am Glied der rotierenden Kette

Ich gehe in dieser Antwort davon aus, dass "ziehen" Spannung bedeutet. Sie werden gebeten, die Spannung in der sich drehenden Kette zu finden. Dies ist unabhängig von der Gliedgröße, solange die Glieder keinen erheblichen Bruchteil des Umfangs ausmachen.

Wenn Sie einen Reifen mit Massendichte pro Längeneinheit haben$\rho$und Umfang C (damit$\rho C = M$wobei M die Gesamtmasse ist), rotierend mit Rotationsgeschwindigkeit$\omega$, die Zentripetalkraft auf ein Segment der Länge l ist die Masse mal die Rotationsgeschwindigkeit zum Quadrat mal dem Radius, oder

$$F_c = \rho l w^2 {C\over 2\pi}$$

Wenn die Kette auf Spannung T steht, ziehen die beiden Endpunkte des Segments mit einer Gesamtkraft von ein

$${Tl\over C}$$

Setzt man die beiden Kräfte gleich, fällt das l heraus (wie es sein muss) und gibt die Spannung an:

$$T = (\rho C) \omega^2 {C\over 2\pi} = M \omega^2 {C\over 2\pi}$$

oder$\omega= 30 {1\over s}$,$M=.4 \mathrm{kg}$,$C = 1.2 m$, das sind etwa 68N.

Denken Sie darüber nach: in der Grenze als$m\to 0$, die Nettokraft geht ebenfalls gegen Null, da$F_\text{net}=ma$und die Beschleunigung ist offensichtlich endlich. Es ist also nicht sehr nützlich, die Kraft auf ein unendlich kleines Stück der Kette zu berechnen, da Sie nur Null erhalten.

Wenn Sie wirklich gebeten werden, die Zentripetalkraft an einem einzelnen Glied der Kette zu finden, müssen Sie die Größe eines Glieds auf irgendeine Weise berücksichtigen. Sie könnten die Länge eines Links oder die Masse oder irgendetwas anderes verwenden, mit dem Sie arbeiten können, aber es muss eine Art umfangreiche Eigenschaft beteiligt sein.

Alternativ können Sie, wie yohBS in einem Kommentar betonte, die Kraftdichte berechnen , die Kraft pro Längeneinheit oder pro Masseneinheit oder was auch immer wäre. Dies ähnelt der Annahme eines Kettenglieds mit einer Länge von einer Einheit.

Es scheint mir, als ob die ganze Kette nur eine Zentripetalkraft erfährt. Für einen gegebenen Radius, Geschwindigkeit und Masse wäre die Kraft

$$F = mv^2/r$$ Dies ist unabhängig von der Größe oder Anzahl der einzelnen Glieder, solange wir davon ausgehen können, dass sich die Massenverteilung auf einen Kreis mit Radius konzentriert $r$. Aus einer stationären Situation können Sie nun keine Beschleunigung entlang der Drehrichtung haben, da dies die Kette beschleunigen oder verlangsamen würde. Wenn Sie alle Verbindungen sofort trennen könnten, wäre die gesamte Kraft erforderlich, um sie auf einem Kreis zu halten $F$, erfordert jedes einzelne Element $F/n$, mit $n$die Anzahl der Link-Elemente ist. An einer Art Normalisierung führt also kein Weg vorbei.

Okay, lass uns nachsehen. Zentripetalbeschleunigung ist$r\omega^2$, und wenn die Dichte der Kette ist$D$kg pro Meter Radius, dann die Zentripetalkraft, die ein kleines Kettenstück hält$dr$in einer Kreisbahn ist$f = Dr\omega^2dr$. Wenn die Länge der Kette ist$l$dann die Spannung bei jedem Radius$r$ist das Integral von$fdr$aus$r$Zu$l$was so ähnlich aussieht$D\omega^2 (l^2-r^2)/2$. Dabei sollte es egal sein, ob es sich um eine Kette oder ein Kabel handelt.

$D = 0.4kg/1.2m$,$l = 1.2m$, Und$\omega = 2 \pi 1800/60$Radiant/Sek.

Sie nehmen es von dort.

Ich habe nicht sofort eine leicht verständliche Antwort gesehen, also schreibe ich diese auf. Dies ist eine Art von Ingenieurproblem, das Sie in der Ingenieurschule immer wieder sehen werden und das am besten in Ingenieurbegriffen betrachtet wird.

Angenommen, Ihre Kette hat zwei schwache Glieder, die um 180 Grad voneinander entfernt sind. Wir wollen wissen, wie schnell wir das Rad drehen können, ohne dass die Kette an diesen Gliedern reißt.

Wir behandeln die beiden Hälften der Kette wie feste Gegenstände. Die Frage lautet nun: Wie groß ist die halbe Zentripetalkraft zwischen den beiden Hälften der Kette? Natürlich sind diese beiden Kräfte entgegengesetzt und gleich. Wir berechnen also die Hälfte der Zentripetalkraft einer 180-Grad-Kette.

Kraft ist ein Vektor. Die Kette an Position$(r,\theta)$Wo$r$ist der Radius des Rades hat eine Zentripetalkraft mit einer Größe von

$$(M\;d\theta/2\pi)\;r\;\omega^2$$ in Richtung des Radius (oder dagegen, wenn es Sie interessiert, gehen Sie vor und bearbeiten Sie dies), wo $M$ist die Masse der Kette und $\omega$die Rotationsgeschwindigkeit im Bogenmaß. Wenn wir es als Vektor schreiben, haben wir: $$F_\theta = \frac{Mr\omega^2\;d\theta}{2\pi}(\cos(\theta),\sin(\theta)).$$ Integrieren Sie diese aus $\theta=0$Zu $\theta=\pi$gibt (wenn ich Zeichen ignoriere, die ich hasse) eine Gesamtkraft von: $$F_{tot} = \frac{Mr\omega^2}{2\pi} 2 = Mr\omega^2/\pi,$$ Die Spannung in der Kette ist also: $$F_{tension} = \frac{Mr\omega^2}{2\pi} 2 = Mr\omega^2/(2\pi),$$

Dies ist die gleiche Antwort wie Ron Maimon und ich sehe, dass seine Ableitung korrekt und einfacher ist. Ich lasse dies stehen, da ich denke, dass es intuitiver ist.