Kraftdiagramm für K&K 2.13 [geschlossen]

Question

Kraftdiagramm für K&K 2.13 [geschlossen]

Flakaffe

Ich habe (unabhängig) an Problem 2.13 in Kleppner und Kolenkows Einführung in die Mechanik gearbeitet und bin zu einer Antwort gekommen, die im Widerspruch zu dem Hinweis steht, den die Autoren im Buch gegeben haben. Das Problem ist folgendes:

In der Skizze ist eine „pädagogische Maschine“ dargestellt. Alle Oberflächen sind reibungsfrei. Welche Kraft $F$ angewendet werden muss $M_1$ behalten $M_3$ vom Steigen oder Fallen?

MS Paint Annäherung an das Originalbild

(Beachten Sie, dass $M_1$ sitzt auf einer ebenen Ebene, die in meiner Reproduktion der Originalskizze nicht eingezeichnet ist.) $\\$

Ich habe drei oder vier Seiten mit Matrixmanipulationen und -ableitungen, die mich zu meiner Antwort geführt haben, aber da ich denke, dass mein Fehler in meinen Kraftgleichungen und nicht in meinen Manipulationen liegt, werde ich nicht alles veröffentlichen, was ich getan habe, es sei denn, jemand fordert mich auf So. Lassen $\vec{F}_{M_3}$ Seien Sie die Kraft auf $M_{1}$ aus $M_{3}$ , lassen $\vec{F}_{M_{1}}$ Seien Sie die Kraft auf $M_3$ aus $M_1$ , und lass $\vec{a}_n$ sei der Beschleunigungsvektor für $M_n$ . Für jeden Vektor $\vec{u}$ , lassen $\vec{u}=\left<u_{x},u_{y}\right>$ Und $\vert\vec{u}\vert=u$ . Die Vektoren $\vec{T}_1$ Und $\vec{T}_2$ sind Spannungskräfte.

{\vec{F}}_{M_{3}} + \vec{F} = M_{1} {\vec{A}}_{1} {\vec{T}}_{2} = M_{2} {\vec{A}}_{2} {\vec{T}}_{3} + {\vec{F}}_{G_{3}} + {\vec{F}}_{M_{1}} = M_{3} {\vec{A}}_{3}

$\vec{F}_{M_3}+\vec{F}=m_{1}\vec{a}_1\\ \vec{T}_{2}=m_{2}\vec{a}_{2}\\ \vec{T}_{3}+\vec{F}_{G_3}+\vec{F}_{M_1}=m_{3}\vec{a}_{3}$

Seit $a_{1x}=a_{1}=a_{3x}$ , $F_{M_3}=F_{M_1}$ , Und $T_{2}=T_{3}$ , finde ich (lassen $a_{3y}=0$ ),

F - F_{M_{3}} - M_{1} A_{3 X} = 0 T_{3} - M_{2} A_{3 X} = 0 F_{M_{3}} - M_{3} A_{3 X} = 0 T_{3} = M_{3} G

$F-F_{M_3}-m_{1}a_{3x}=0\\ T_{3}-m_{2}a_{3x}=0\\ F_{M_3}-m_{3}a_{3x}=0\\ T_{3}=m_{3}g$

Das Setzen der entsprechenden Matrix in zeilenreduzierte Stufenform ergibt

F = \frac{M_{3} G (M_{3} + M_{1})}{M_{2}} .

$F=\frac{m_{3}g\left(m_{3}+m_{1}\right)}{m_{2}}.$

Der Hinweis im Buch lautet:

Für gleiche Massen gilt $F=3Mg$ .

Meine Antwort gibt $F=\frac{Mg(M+M)}{M}=2Mg$ . Habe ich alle Kräfte richtig berücksichtigt, die sich in meinen Kräftegleichungen nicht aufheben?

Flakaffe

Ich habe die ursprüngliche Frage bearbeitet. Wenn meine Kraftgleichungen falsch sind, liegt meinerseits ein Missverständnis der an dem Problem beteiligten Konzepte vor. Ich habe mir ziemlich viel Mühe gegeben, mein Problem und die Arbeit, die ich geleistet habe, um es selbst zu lösen, klar darzustellen, teilweise um zu zeigen, dass mein Problem konzeptionell und nicht rechnerisch ist (wenn meine Mathematik leicht zu überprüfen ist, dann ist das klar). mein Fehler liegt darin, die beteiligten Kräfte zu identifizieren, nicht in meiner Manipulation der Gleichungen, die ich geschrieben habe). Es kann auch sein, dass das Buch einen Tippfehler enthält (ich habe es leicht gemacht, es zu überprüfen). Bitte öffnen Sie diese erneut.

Antworten (2)

Kraftdiagramm für K&K 2.13 [geschlossen]

Ich habe die ursprüngliche Frage bearbeitet. Wenn meine Kraftgleichungen falsch sind, liegt meinerseits ein Missverständnis der an dem Problem beteiligten Konzepte vor. Ich habe mir ziemlich viel Mühe gegeben, mein Problem und die Arbeit, die ich geleistet habe, um es selbst zu lösen, klar darzustellen, teilweise um zu zeigen, dass mein Problem konzeptionell und nicht rechnerisch ist (wenn meine Mathematik leicht zu überprüfen ist, dann ist das klar). mein Fehler liegt darin, die beteiligten Kräfte zu identifizieren, nicht in meiner Manipulation der Gleichungen, die ich geschrieben habe). Es kann auch sein, dass das Buch einen Tippfehler enthält (ich habe es leicht gemacht, es zu überprüfen). Bitte öffnen Sie diese erneut.

pppqqq · Answer 1

Sie führen einige irrelevante Variablen ein, wie z $F_{M_3}$ , $T_1$ , $T_2$ . Lassen Sie uns davon ausgehen, dass $T_1=T_2=T$ (Die Rolle dreht sich nicht und die Saite ist masselos). Das Ganze hat Masse $M=m_1+m_2+m_3$ , beschleunigt mit $a$ und die Kraft an $M$ Ist

F = M A .

$F=Ma.$ Die Spannung

T

$T$ gleich

m_{2} a

$m_2 a$ und auch

m_{3} g

$m_3g$ , So

A = \frac{M_{3}}{M_{2}} G .

$a=\frac{m_3}{m_2}g.$ Somit

F = \frac{M_{3}}{M_{2}} M G .

$F=\frac{m_3}{m_2}Mg.$

Der Fehler in Ihrer Analyse ist, dass eine andere Kraft darauf wirkt $M_1$ , nämlich die Kraft, die der Draht auf die Rolle ausübt. Dies hat eine horizontale Komponente gleich $-T=-m_2 a$ , wie ein wenig Nachdenken zeigt. Hinzufügen der $m_2a$ Term zu Ihrer ersten Gleichung, alles funktioniert.

Und hier ist Ihr Fehler: die Kraft an $m_1$ ist nicht nur $F+F_{M_3}$ ... da ist auch die Kraft, die von ausgeübt wird $m_2$ !
Wie oben: Ich sah die Kraft, die von ausgeübt wurde $M_2$ , aber würde nicht die Summe dieser Kraft und der Schwerkraft an $M_1$ auf eine gleich große Normalkraft aus der Ebene treffen $M_1$ rutscht vorbei? Wenn das nicht der Fall wäre, dann nicht $M_1$ in Richtung beschleunigen $-\hat{\mathbf{j}}$ ?

akrasia · Answer 2

akrasia

Hinweis.
Ich denke, der Fehler liegt in Ihrer ersten Gleichung, die die Kräfte für die Masse M1 addiert:
$\vec{F}_{M_3}+\vec{F}=m_{1}\vec{a}_1\\$ .
Es gibt eine zusätzliche Kraft auf M1, die Sie weggelassen haben.

Bearbeiten: Die Riemenscheibe übt eine Kraft auf M1 aus.

Flakaffe

Der Kürze halber habe ich die Gleichung so geschrieben, aber als ich an dem Problem arbeitete, schrieb ich:

{\vec{F}}_{M_{2}} + {\vec{F}}_{M_{3}} + {\vec{F}}_{G 1} + {\vec{F}}_{N} + \vec{F} = m_{1} {\vec{a}}_{1}

$\vec{F}_{M_2}+\vec{F}_{M_3}+\vec{F}_{G1}+\vec{F}_{N}+\vec{F}=m_{1}\vec{a}_1$ . Aber nicht

{\vec{F}}_{M_{2}} + {\vec{F}}_{G 1} + {\vec{F}}_{N} = 0

$\vec{F}_{M_2}+\vec{F}_{G1}+\vec{F}_{N}=\mathbf{0}$ ?

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pppqqq

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