Auf einer Steigung gestapelte Blöcke, die durch ein Seil um eine Riemenscheibe verbunden sind

Question

Auf einer Steigung gestapelte Blöcke, die durch ein Seil um eine Riemenscheibe verbunden sind

bdforbes

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Zwei Objekte A und B mit einer Masse von 5 kg bzw. 20 kg sind durch eine masselose Schnur verbunden, die über eine reibungsfreie Rolle am oberen Ende einer schiefen Ebene läuft, wie in der Abbildung gezeigt. Der Haftreibungskoeffizient ist zwischen allen Flächen mu_s = 0,4 (a) In welchem Winkel $\theta$ muss das Flugzeug geneigt werden, damit das Gleiten beginnt? (b) Wie groß ist die Seilspannung und wie groß sind die Reibungskräfte bei dieser kritischen Neigung? (c) Bei einem Neigungswinkel von 15 $^\circ$ , wie groß ist die Seilspannung? (d) Bei einem Neigungswinkel von 35 $^\circ$ , wie groß ist die Seilspannung?

Ich konnte (a) und (b) lösen, indem ich ein Freikörperdiagramm wie gezeigt zeichnete:

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Newtons zweites Gesetz, das alle Beschleunigungen auf Null setzt, impliziert die folgenden Beziehungen:

$N_A = m_A g \cos(\theta)$

$T = m_A g \sin(\theta) + f_2$

$N_B = (m_B + m_A) g \cos(\theta)$

$T + f_1 + f_2 = m_B g \sin(\theta)$

Die zweite Gleichung kann in die vierte Gleichung eingesetzt werden, um zu ergeben

F_{1} + 2 F_{2} = (M_{B} - M_{A}) G Sünde (θ) (1)

$\begin{equation} f_1 + 2f_2 = (m_B - m_A) g \sin(\theta) \;\;\;\; (1) \label{eq:1} \end{equation}$

Einstellen der Reibungskräfte auf ihre Maximalwerte $f_{1,{\rm max}} = \mu_s N_B = \mu_s (m_B + m_A) g \cos(\theta)$ Und $f_{2,{\rm max}} = \mu_s N_A = \mu_s m_A g \cos(\theta)$ ermöglicht die Lösung dieser Gleichungen $\theta = 43^\circ$ , $f_2 = 14.33$ N, $f_1 = 71.64$ N und $T = 47.76$ N.

Ich bin jedoch etwas verwirrt über die Teile (c) und (d), die sich mit Winkeln unter 43 befassen $^\circ$ .

Ich habe 5 Unbekannte: Spannung, zwei Normalkräfte und zwei Reibungskräfte, aber nur vier Einschränkungen aus Newtons zweitem Gesetz. Unter Bezugnahme auf Gl. (1) ist die aufgebrachte Nettokraft, der die Haftreibung entgegenwirken muss, festgelegt, also $f_1+2f_2$ ist bekannt, aber es gibt keine zusätzliche Einschränkung, um zu bestimmen, wie viel $f_1$ widerspricht und wie viel $f_2$ widerspricht. Es scheint einen gewissen Grad an Freiheit zu geben, wie $f_1$ Und $f_2$ bestimmt, dh ein freier Parameter.

Mein bisheriger Versuch besteht darin, anzunehmen, dass wir bei sehr kleinen Steigungen erwarten könnten, dass Reibung die Blöcke stationär hält und somit das Seil und die Spannung locker wären $T$ wird aus den Gleichungen eliminiert. In diesem Fall würde das Freikörperbild anders gezeichnet, da Block A ohne Seil tendenziell über Block B nach unten rutscht:

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Die maximale Neigung unter diesen Bedingungen ergibt sich durch Ausgleichskräfte:

$m_A g \sin(\theta) = f_2 \le \mu_s m_A g \cos(\theta)$
$\Rightarrow \tan(\theta) \le \mu = 0.4$
$\Rightarrow \theta \le 21.8^\circ$

Wenn die Steigung oben erhöht wird $21.8^\circ$ , Ich bin verwirrt darüber, was passieren wird. Die Blöcke würden den Hang hinunterrutschen, aber das Seil würde sich straffen, und plötzlich würde das System dazu neigen, dass der schwerere Block B den Hang hinunter beschleunigt und der leichtere Block A den Hang hinauf beschleunigt (weil Block B weiterzieht es über das Seil), was zu einem freien Körperdiagramm wie in meiner ursprünglichen Figur führt. Ich verstehe immer noch nicht, wie man in diesem Fall die Spannung und die beiden Reibungskräfte berechnet.

Wie bestimme ich die Spannung $T$ und Reibungskräfte $f_1$ Und $f_2$ für Neigungswinkel zwischen $21.8^\circ$ Und $43^\circ$ ? Für diese Steigungen scheint es nicht genügend Randbedingungen zu geben, um jede Größe zu bestimmen, siehe zum Beispiel Gl. (1). Gibt es eine zusätzliche Einschränkung, an die ich nicht gedacht habe, oder habe ich vielleicht mein Freikörperbild falsch gezeichnet?

Antworten (4)

Auf einer Steigung gestapelte Blöcke, die durch ein Seil um eine Riemenscheibe verbunden sind

böser999mann · Answer 1

Hinweis : Reibung wirkt der Bewegungstendenz entgegen. Spannung entsteht, wenn die Saite gedehnt wird $very$ leicht. Erhöhen Sie also die Reibung auf das Maximum, und dann wirkt gegebenenfalls die Spannung.

Ironischerweise denken Sie absolut richtig. Gib dir einen Keks.

Ab Teil $a$ , wissen wir, dass die Blöcke in allen Winkeln darunter in Ruhe sind.

Sie haben auch Recht, da bei sehr kleinen Winkeln keine Spannung erforderlich ist und wir sie ignorieren können, um erneut eine Winkelbedingung zu lösen. Sie haben hervorragende Arbeit geleistet. Herzlichen Glückwunsch.

Nun kommen wir zu den Mittelwinkeln. Oh ... sie machen dich wahnsinnig, nicht wahr?

Lasst uns beginnen. Wir können unsere Analyse mit 2 Blöcken beginnen, 1 wird einen Widerspruch liefern und der andere wird ein Ergebnis liefern, aber ich werde mit dem einen beginnen, der einen Widerspruch ergibt. Das wird dir helfen.

Alle Winkel sind in Grad angegeben :

$\theta=35$

Beginnen wir mit der Analyse von Block A (kein Rassismus beabsichtigt)

Die Schwerkraft versucht, es nach unten zu ziehen: $5*10*\sin(35)N=28.67N$

Reibung kommt zur Rettung (nach oben) : $50*\cos(35)N=16.38N$ // Lies meinen Hinweis, um zu erfahren, warum hier die Reibung auf Maximum steht

Da es in Ruhe ist, $T=12.29N$

Jetzt ist auch Block B in Ruhe,

Gewicht = $114.71N$

max f= $81.92N$

$16.38+114.71=12.29+f$

$f=118.8N$

OOPS, es hat den Maximalwert überschritten. Beginnen wir also mit der Analyse von Block B. (Ich liebe Alliterationen)

Schwerkraftversuch: $114.71N$

Reibung kommt zur Rettung (nach oben) : $81.92N$

Sie können von hier nehmen, denke ich. Spannung berechnen. Beachten Sie, dass Sie Ihre Berechnung für die Spannung erneut überarbeiten müssen, da die Reaktionsreibungskraft von A bereitgestellt wird. Nehmen Sie sie besser an $f$ ab Start FBD von B.

Dies ergibt die richtige Antwort. Die Reibung ist geringer als der Maximalwert für den oberen Block. In den meisten Fällen sollten Sie mit der Analyse mit einem schwereren Block beginnen (meine Erfahrung). Ich hoffe, Ihre Zweifel sind ausgeräumt.

Ich habe die Kommentardiskussion gelöscht. Bitte wenden Sie sich für weitere Diskussionen an den Physik-Chat .
Ach das ist toll! Funktioniert dies für beliebig kompliziertere Beispiele? ZB viele Blöcke und viele Rollen? Ich gehe davon aus, dass das allgemeine Verfahren darin besteht, einen beliebigen Block auszuwählen, zu versuchen, seine Reibungskraft zu maximieren, und dann das System zu durchlaufen, bis ein gültiges Ergebnis erzielt wird.

Benutzer42733 · Answer 2

Korrektur, die vierte Gleichung sollte sein $T+f_1+f_2=m_BgSin\theta$

Spannung wird in der Saite erzeugt, wenn die Blöcke von der anderen Seite gedehnt werden. Wenn $\theta \leq 21.8^\circ$ , Sie berechneten, dass die Reibungskraft auf $A$ wird mehr als die Kraft aufgrund der Neigung sein. Also ja, $A$ wird nach oben beschleunigt, wodurch die Saite locker wird, sodass keine Spannung erzeugt wird. Aber falls $B$ geht, wird die Saite wieder gespannt. Sie müssen die relative Beschleunigung von sehen $A$ Und $B$ um zu prüfen, ob die Saite locker wird.

Die relative Beschleunigung von A und B ist für Null $\theta < 43^\circ$ nicht wahr? Denn entweder ist die Saite schlaff $\theta<21.8^\circ$ und die Reibung hält die Blöcke an Ort und Stelle oder es ist nicht mehr locker, aber die Reibungskräfte wirken in die entgegengesetzte Richtung zwischen den Blöcken und halten sie immer noch an Ort und Stelle.
Ja, die relative Beschleunigung wäre Null, wenn sich das gesamte System in eine Richtung bewegt. Spannung müsste dann in beiden Fällen enthalten sein.
Aber ich löse speziell für den Fall, in dem es überhaupt keine Beschleunigung gibt, also müssen alle Kräfte ausgleichen.
Dann gibt es natürlich Spannung. Sehen Sie, ob Sie es jetzt lösen können. Akzeptieren Sie auch eine Antwort, wenn Sie keine Probleme mehr haben.
Siehe die Änderungen in meiner Frage, insbesondere die neue Gl. (1) und Diskussion ein paar Absätze weiter unten. Dies ist die beste Einschränkung, die ich finden kann; nur $f_1+2f_2$ festgelegt ist, aber es scheint keine zusätzliche Einschränkung zu geben, die Reibungen einzeln festzulegen. Unter der Annahme, dass beide Reibungen ihre Maximalwerte haben, wäre dies erforderlich $\theta$ 43 sein $^\circ$ , das funktioniert also nicht für zB $\theta=30^\circ$ .

John Alexiou · Answer 3

Bei niedrigen Winkeln, wenn Reibung die Blöcke zusammenhalten kann, gibt es keine Spannung auf dem Kabel und somit:

F_{2} = M_{A} G Sünde θ F_{2} = (M_{A} + M_{B}) G Sünde θ

$f_2 = m_A g \sin \theta \\ f_2 = (m_A+m_B) g \sin \theta$

Nur wenn Bewegung auf den Blöcken ist, entsteht Spannung. In diesem Fall haben Sie $\ddot{x} = \ddot{x}_A = -\ddot{x}_B$

F_{2} = μ_{S} M_{A} G \cos θ F_{2} = - μ_{S} (M_{A} + M_{B}) G \cos θ

$f_2 = \mu_S m_A g \cos \theta \\ f_2 = -\mu_S (m_A+m_B) g \cos \theta$

(beachten Sie den Vorzeichenwechsel) und die Bewegungsgleichungen

M_{A} (\ddot{X}) = G M_{A} Sünde θ - T - F_{2} M_{B} (- \ddot{X}) = G M_{B} Sünde θ - T - F_{1} + F_{2}

$m_A (\ddot{x}) = g m_A \sin \theta -T -f_2 \\ m_B (-\ddot{x}) = g m_B \sin \theta -T - f_1 + f_2$

was gelöst ist $T$ Und $\ddot{x}$ .

Der Fall, in dem die beiden Blöcke aneinander haften und auf der Schräge gleiten, kann wegen des sie verbindenden Kabels nicht existieren.

Ich denke, diese Einschränkung ist bereits in meinen Gleichungen enthalten, indem ich alle Beschleunigungen auf Null setze und Kräfte ausgleiche.
Die Beschränkungsgleichung ermöglicht es Ihnen, die Reibungskräfte zu finden. Vermute nicht $F = \mu N$ , aber halte Reibungskräfte als unbekannt. Nehmen Sie auch an, dass sich die Blöcke bewegen.
Mengen wie z $x_A$ Und $x_B$ tauchen nirgendwo in den Gleichungen auf, die ich habe; Wie kann ich diese Einschränkung einbeziehen?
Exakt! Sie müssen die Kinematik des Systems berücksichtigen, um das Problem vollständig zu lösen. Ich werde Sie mit meiner Antwort beginnen.
Warum können wir trotzdem davon ausgehen, dass jede Haftreibungskraft ihren Maximalwert hat? Für das einfachere Problem eines einzelnen Blocks auf einer Neigung ist die Reibung für Winkel unterhalb des kritischen Winkels geringer als ihr Maximum.
Lösen dieser Gleichungen für $\theta=30^\circ$ ich finde $\ddot{x}=-7.69\ {\rm m/s^2}$ . Aber das impliziert, dass die Blöcke gleiten. Der Wortlaut der Frage impliziert, dass das Gleiten erst bei beginnt $\theta=43^\circ$ . Daher nehme ich an, dass die Eingabe nicht gültig ist $\theta=30^\circ$ ?
Ich habe das Problem nicht gelöst. Ich habe Ihnen gerade gezeigt, wie Sie vorgehen müssen, um mit der Hausaufgabenrichtlinie in Einklang zu stehen . Es ist Ihre Aufgabe, sicherzustellen, dass alle Zeichen und Konvektionen auf den Freikörperdiagrammen korrekt in den Gleichungen wiedergegeben werden.
Meine Frage bezieht sich im Wesentlichen darauf, wie man für einen solchen Fall ein Freikörperdiagramm zeichnet und wie man die Reibungswerte einschränkt. Ihr kinematischer Ansatz scheint diese Einschränkung nicht zu bieten.
Sie haben auch gesagt: „Gehen Sie nicht davon aus $F=\mu N$ ", aber das haben Sie in Ihrer Antwort tatsächlich getan. Ich bin jetzt verwirrter als zuvor. Ich werde Ihre Antwort akzeptieren, wenn sie mir hilft, zur Lösung zu gelangen.
@bdforbes wenn Blöcke dann rutschen $F=\mu N$ , aber wenn sie kleben $F<\mu N$ .
Aber sie werden nicht rutschen $\theta<43^\circ$ , also weiß ich nicht, wie mir das hilft!
Beginn des zweiten Absatzes: "Nur wo Bewegung ist, ist Spannung"? Nein – es ist durchaus möglich, Spannungen in statischen Situationen zu haben – genau das ist das Problem beim Zwischenwinkel.

bdforbes · Answer 4

Die von anderen geposteten Antworten ermutigten mich, die Annahmen zu überprüfen, die ich bei dem Versuch, das Problem zu lösen, aufstellte. Leider denke ich, dass keine der Antworten letztendlich in die richtige Richtung ging, also kann ich keine von ihnen akzeptieren.

Ich glaube, die Antwort ist, dass die Reibung zwischen Block B und der Ebene immer auf ihrem Maximalwert sein wird, sobald die Ebene auf 21,8 geneigt ist $^\circ$ (dh bis zu dem Punkt, an dem sich das Seil zu straffen beginnt). Dies liefert die zusätzliche Beschränkung, die es ermöglicht, die Spannung im Seil und die Reibung zwischen den Blöcken zu bestimmen. Dies hat zur Folge, dass die Spannung allmählich von Null an ansteigt $\theta=21.8^\circ$ auf seinen Endwert von $47.76$ N bei $\theta=43^\circ$ . Folglich gibt es auch einen Kreuzungspunkt, an dem die Reibung zwischen den Blöcken die Richtung wechselt. Für mich ist das ein physikalisch sinnvolles Ergebnis.

Die Antwort der Person, die das Problem geschrieben hat, lautet 43°, genau wie ich ... Haben Sie den gleichen Ansatz verwendet wie ich?
Ooops, Masse als 10 statt 20 nehmen. Ich werde sehen, was ich tun kann.
Ich bearbeite meine Antwort. Ich habe deine Verwirrung gefunden.

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