Dies ist ein großartiges Beispiel für elementare physikalische Konzepte, die vielleicht aufgrund meiner mangelnden Fähigkeiten einige ziemlich unelegante Mathematik einbringen. Das ganze Konzept kann mit einem Freikörperdiagramm erklärt werden.

Lassen Sie uns zuerst den ersten Ausdruck ableiten, den sie auf der Wikipedia- Seite für eine "V" -Formation angeben . Dies ist vielleicht ein klassisches Physikproblem für Anfänger mit kostenlosen Diagrammen; weil es einfach genug ist, aber herausfordernd genug für einen Neuling, um die Antwort nicht einfach zu erraten. Unten habe ich die beiden Situationen auf derselben Grafik gezeichnet. Berücksichtigen Sie für die "V" -Formation, dass es nur Seil gibt, wo die blauen Linien sind. Fügen Sie dann für das Todesdreieck ein Seil über die orangefarbene Linie hinzu. Die beschriebene Situation ist ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei Innenwinkeln$\phi$Und$\theta$. Die Kreise sind die Anker (als masselos angenommen), und das Quadrat ist die Last der Masse$m$.

Schreiben Sie nun alle Kräfte für jeden Fall auf und lösen Sie das Gleichungssystem.

"V"-Formation

Auf den Anker wirken zwei Kräfte: i) von der Spannung im Seil aufgrund des Objekts (zeigt entlang der blauen Linie) und ii) der Felsen, in dem es verkeilt ist, liefert die notwendige Kraft, um den Anker an Ort und Stelle zu halten. Wir möchten nach der Kraft auflösen, die der Fels auf den Anker aufbringen muss, um ihn an Ort und Stelle zu halten, dh die Summe der beiden Kräfte ist 0 (also die Kraft vom Fels,$F_\textrm{rock}$, gleichwertig$F_{Anchor}$in Wikipedia-Notation Punkte gleich und entgegengesetzt zur Spannung). Wir müssen also nur nach der Spannung auflösen,$T$, was sich am einfachsten aus dem Freikörperbild der Last ergibt.

Auf die Last wirken drei Kräfte:

• Schwere,

• die Spannung vom linken Anker,

• die Spannung vom rechten Anker.

Das ist jetzt ein zweidimensionales Problem, also zerlegen wir die Kraftgleichungen nach Komponenten. Mit Blick auf die$x$Komponente

$$\left( \sum_{i} \vec{F}_i \right)_x = -T_{\textrm{left}} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) + T_{\textrm{right}} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 0.$$

Deshalb sehen wir das$T_{\textrm{left}}=T_{\textrm{right}}$, die ich jetzt einfach nenne$T$. Dies würde man aufgrund der Symmetrie des Problems erwarten. Jetzt die$y$Komponente sagt,

$$\left( \sum_{i} \vec{F}_i \right)_y = -mg + T \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + T \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 0.$$

So sind wir angekommen

$$T = \frac{mg}{2 \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}.$$

Wie bereits gesagt, ist die Größe der Kraft, die der Fels ausübt, gleich der Spannung; Daher ist diese Spannung unsere Antwort$F_\textrm{rock}$.

Beachten Sie, um die Mathematik im nächsten Abschnitt zu vereinfachen$\cos(x) = \sin(\pi/2 - x)$, und das$2\phi = \pi - \theta$, Deshalb$\cos(\theta/2) = \sin(\phi)$(Dies ist offensichtlich, wenn Sie das Dreieck durch Halbieren in zwei rechtwinklige Dreiecke teilen$\theta$).

Todesdreieck

Jetzt schließen wir das orangefarbene Stück Seil ein, so dass alles miteinander verbunden ist. Ähnlich wie bei der "V"-Formation möchten wir nach der Kraft auflösen, die der Fels auf den Anker ausübt, um ihn an Ort und Stelle zu halten. Wiederum ist diese Kraft gleich und entgegengesetzt zu allen anderen Kräften, so dass sich die Nettokraft zu Null summiert. Diesmal spürt der Anker jedoch drei Kräfte:

• Spannung des an der Last befestigten Seils,

• Spannung vom Seil, das am anderen Anker befestigt ist,

• die haltende Kraft des Felsens. Beachten Sie diesmal, dass die Haltekraft des Felsens nicht entlang des Dreiecks verläuft, da sie sowohl (i) als auch (ii) ausgleichen muss.

Da die Anker wie Umlenkrollen wirken, wissen Sie, dass sie die Kraft ohne Modifikation umleiten. Somit ist die Spannung, die der Anker von dem anderen Anker fühlt, gleich der Spannung, die er von dem Objekt fühlt. Deshalb nennen wir alle Spannungskräfte einfach$T$. Eine intuitive Art, dies zu sehen, ist ein Gegenbeispiel. Angenommen, die beiden Kräfte wären nicht gleich, dann würde die Seite des Seils mit der größeren Kraft das andere Seil zu sich ziehen. Wir wissen, dass diese Seile in Ruhe sind, daher wissen wir intuitiv, dass diese Kräfte gleich sein müssen. In diesem Sinne schreiben wir die$x$Komponente der Kraftgleichungen als

$$\left( \sum_{i} \vec{F}_i \right)_x = T + T \cos\left(\phi\right) - F_x = 0.$$

Wo$F_x = F_\textrm{rock} \cos(\phi')$, Wo$\phi'$ist der Winkel$\vec{F}_{rock}$macht mit dem$x$-Achse. Ich werde mich nicht zu sehr darum kümmern, da wir beide Gleichungen verwenden werden, um sie durch bekannte Variablen zu ersetzen. Deshalb gehen wir auf die$y$-Komponente

$$\left( \sum_{i} \vec{F}_i \right)_y = T \sin\left(\phi\right) - F_y = 0.$$

Wo nochmal ähnlich$F_y = F_\textrm{rock} \sin(\phi')$. So werden diese Gleichungen gleichgesetzt und gelöst$\phi'$bezüglich$\phi$

$$\phi' = \arctan\left( \frac{\sin(\phi)}{1+\cos(\phi)}\right).$$

Jetzt können wir auflösen$F_{rock}$durch Umschreiben der$y$-Gleichung als

$$F_\textrm{rock} = T \frac{\sin(\phi)}{\sin(\phi')}.$$

Jetzt wissen wir$T$von der "V"-Formation, und erinnern Sie sich, dass wir am Ende notiert haben, wie man es in Bezug auf umschreibt$\sin(\phi)$, die uns jetzt aufheben

$$F_\textrm{rock} = \frac{mg}{2\sin(\phi')}.$$

Dies ist genau die gleiche Form der Gleichung wie die "V"-Formation, nur mit$\phi$Und$\phi'$geschaltet! Jetzt$\sin\left( \arctan\left( \frac{\sin(\phi)}{1+\cos(\phi)}\right) \right)$, ist ein etwas unansehnlicher Anblick. Aber wenn man nur bedenkt,$0 \leq \theta \leq \pi$, als Ihr Bereich für$\theta$, die Grenzen eines Dreiecks sind, dann vereinfacht es sich zu zu$\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)$. Daran erinnere ich mich jetzt$2\phi = \pi - \theta$, dann können wir das umschreiben als$\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{4}\right)$. So sind wir in der Tat angekommen

$$F_\textrm{rock} = \frac{mg}{2\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{4}\right)}.$$

Ich habe nicht viel Zeit damit verbracht, die Mathematik elegant zu gestalten, aber Sie können die Übereinstimmung sehen, die uns zu der Annahme führt, dass wir die gesamte Physik in den Wikipedia-Artikel aufgenommen haben.

Abschluss

Wie in Wikipedia erwähnt, ist diese Formation weniger effektiv bei der Minimierung$F_\textrm{rock}$. Die "V"-Formation, Best-Case-Szenario von$\theta = 0$, halbiert das Gewicht; während Sie für das Todesdreieck nur bekommen$\sqrt{2}/2$. Daher wird aus Sicherheitsgründen empfohlen, diese Verankerungsmethode nicht zu verwenden, wenn Sie das geringste Gewicht auf einen Anker legen möchten (zusätzlich zu einer offensichtlichen Verletzung anderer Kletterer, z. B. Redundanz).