Warum werden Dreiecke so gezeichnet, wenn man mit der Schwerkraft auf einer schiefen Ebene arbeitet?

Sie können die Kräfte entlang AD und DF anstelle von AG und GC zerlegen, aber sie sind nicht die relevanten Kräfte, nach denen Sie suchen. Was dies verwirrend macht, ist, dass wir oft vollständig in Magnituden arbeiten, während wir im Grunde Vektoren manipulieren , und wir kommen damit nur mit einer guten Auswahl an Zerlegungen durch.

Angenommen, die nach unten gerichtete Schwerkraft ist$\vec{f}$mit Größenordnung$f$und Richtung entlang AC. Die "richtige" Methode wird sagen, dass es eine Normalkraft gibt$\vec{f}_{\!\perp}$in Richtung AG und eine parallele Kraft$\vec{f}_{\!\Vert}$in Richtung GC, mit$\vec{f} = \vec{f}_{\!\perp} + \vec{f}_{\!\Vert}$. Die Formeln für die Größen sind

$$f_{\!\perp} = f \cos\beta, \qquad f_{\!\Vert} = f \sin\beta.$$ Darüber hinaus wissen wir, weil AG und GC orthogonal sind $\vec{f}_{\!\Vert}$kann keinen Einfluss auf das Einschieben in die schiefe Ebene haben; Alle diese Effekte werden von erfasst $\vec{f}_{\!\perp}$.

Betrachten Sie nun die "falsche" Zerlegung von$\vec{f} = \vec{f}_1 + \vec{f}_2$, mit$\vec{f}_1$entlang AD und$\vec{f}_2$entlang DF. Wir können auch diese Größenordnungen erhalten:

$$f_1 = f \sec\beta, \qquad f_2 = f \tan\beta.$$ Das Problem ist, $\vec{f}_1$erfasst die Normalkraft nicht vollständig, weil $\vec{f}_2$trägt auch dazu bei.

Stellen Sie sich als extremes Beispiel eine Masse vor, die mit Gewicht auf einem horizontalen Boden sitzt$\vec{f}$nach unten gerichtet. Wir könnten schreiben$\vec{f} = \vec{f}_1 + \vec{f}_2$mit beiden$\vec{f}_1$Und$\vec{f}_2$zeigt auch nach unten. Wir können nicht nur zuschauen$\vec{f}_1$und Vernachlässigung$\vec{f}_2$wenn man das Gewicht der Masse auf dem Boden betrachtet.

Eine andere Sichtweise ist, dass wir stillschweigend Punktprodukte nehmen. Die eigentliche, eindeutige Definition der Normalkraft der Masse auf den Block ist das Skalarprodukt ihres Gewichtsvektors mit dem Einheitsnormalenvektor zur Oberfläche,$\vec{f}_{\!\perp} = (\vec{f} \cdot \hat{n}) \hat{n}$(ein Zeichen geben oder nehmen). Bei der Berechnung von Punktprodukten können Sie nur Komponenten von ignorieren$\vec{f}$die orthogonal zu sind$\hat{n}$; Wenn Sie eine Zerlegung durchführen, bei der keine Komponente orthogonal ist, müssen Sie beide Terme einbeziehen. In Gleichungen ist dies der Unterschied zwischen

$$\vec{f} \cdot \hat{n} = \vec{f}_{\!\perp} \cdot \hat{n} + \vec{f}_{\!\Vert} \cdot \hat{n} = (f_{\!\perp}) (1) \cos0^\circ + (f_{\!\Vert}) (1) \cos90^\circ = f_{\!\perp}.$$ Und $$\vec{f} \cdot \hat{n} = \vec{f}_1 \cdot \hat{n} + \vec{f}_2 \cdot \hat{n} = (f_1) (1) \cos0^\circ + (f_2) (1) \cos69.91^\circ.$$

Behalten Sie Ihr Ziel im Auge: Kräftegleichgewichte in der Welt herzustellen$x$Und$y$Richtung, die normalerweise später bei der Behandlung des Problems verwendet wird, um Bewegungsgleichungen zu bestimmen. Sie haben diese Achsen noch nicht definiert.

Sie können sie (Ihren Bezugsrahmen) beliebig wählen, solange sie senkrecht zueinander stehen. In diesem Fall ist die einfachste Wahl, AB als zu wählen$x$Achse, die in Richtung B zeigt . Wählen Sie AG (das senkrecht zu AB steht ) als das$y$Achse, die in A- Richtung zeigt. Der Ursprung Ihrer$x,y$Koordinatensystem ist A .

Nennen Sie den Winkel bei B ,$\beta$. In diesem speziellen Problem$\beta$ist der einzige Winkel, den Sie benötigen.

Angenommen, FB ist die wahre Horizontale, dann das Gewicht$mg$der Box wirkt entlang AC nach unten , senkrecht zu FB .

Die Projektion von$mg$auf AG ist die$y$-Bestandteil von$mg$und wird von gegeben$-mg\cos\beta$(Minuszeichen im Sinne des$y$Achse).

Die Projektion von$mg$auf AB ist das$x$-Bestandteil von$mg$und wird von gegeben$mg\sin\beta$(Pluszeichen im Sinne des$x$Achse).

Das Problem kann in einem x-horizontalen y-vertikalen Koordinatensystem bearbeitet werden, aber es ist auf diese Weise etwas schwieriger. Das grundlegende Problem ist die Natur der Normalkraft: Sie wird eher als Einschränkung ausgedrückt als als eine konsistente Regel wie "$mg$nach unten" für das Gewicht.

Die Normalkraft widersteht Versuchen, Dinge in dasselbe Raumvolumen zu drücken, sodass ihre Richtung senkrecht zur Oberfläche nach außen verläuft und ihre Größe gleich den Kräften ist, die versuchen, das Objekt zusammenzudrücken.

Sie müssen also herausfinden, "welche Kräfte auch immer versuchen, die Objekte zusammenzudrücken", um herauszufinden, was die Normalkraft bewirkt, um sie aufzuheben. In diesem Fall bedeutet dies einen Teil des Gewichts und sonst nichts, also möchten Sie das Gewicht in den Teil zerlegen, der versucht, den Block in die Rampe zu schieben, und was übrig bleibt (der Teil "entlang der Rampe").