Zentrifugalkraft im statischen Bezugssystem

Neulich haben wir Keplers drittes Gesetz hergeleitet.

$$\left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2 = \left( \frac{r_1}{r_2} \right) ^3$$

Um dies abzuleiten, können Sie sich einen bestimmten Planeten ansehen, der sich um die Sonne dreht. Wenn Sie davon ausgehen, dass die Sonne viel schwerer als der Planet ist und sich der Planet auf einer Kreisbahn bewegt, können Sie einfach die Kraft auf den Planeten durch die Sonne angeben:

$$F_G = G \frac{mM}{r^2}$$

Wo$F_G$ist die Kraft auf dem Planeten,$G$ist die Gravitationskonstante,$m$ist die Masse des Planeten,$M$die Masse der Sonne u$r$die Entfernung des Planeten zur Sonne.

Unser Tutor sagte, dass Sie jetzt eine Zentrifugalkraft haben müssen$F_c$das ist im absoluten Wert gleich$F_G$, aber in entgegengesetzter Richtung, so dass die Summe der Kräfte Null wäre. Der absolute Wert davon$F_c$wäre dann gleich$F_G$:

http://wstaw.org/m/2011/11/15/m9.png

Dann setzt du die Formeln für die jeweiligen Kräfte ein:

$$|\vec{F_c}| = |\vec{F_G}|$$ $$m \frac{v^2}{r} = G \frac{mM}{r^2}$$ $$\frac{v^2}{r} = G \frac{M}{r^2}$$ $$v^2 = G \frac{M}{r}$$ $$v = \sqrt{G \frac{M}{r}}$$

Wo$v$ist die Tangentialgeschwindigkeit des Planeten.

Zusammen mit$v=\frac{2\pi r}{T}$, Wo$T$die Revolutionsperiode ist, erhalten Sie:

$$\frac{2\pi r}{T} = \sqrt{G \frac{M}{r}}$$ $$\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = G \frac{M}{r}$$ $$\frac{r^3}{T^2} = G \frac{M}{4\pi^2}$$

Da der rechte Anteil für jedes Sonnensystem konstant ist, kann man eine Verhältnisbildung vornehmen und erhält das Keplersche Gesetz. Dieser Ansatz funktioniert also.

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Ich denke, dass diese Ansicht nur gültig ist, wenn Sie sie von einem rotierenden Beobachtungspunkt aus konstruieren, dh auf dem Planeten stehen und jederzeit der Sonne zugewandt sind. Unser Tutor sagte, dass dies von einem statischen (in Bezug auf die Sonne) Beobachtungspunkt ist.

Im rotierenden System haben Sie zwar die Zentrifugalkraft, aber es ist keine wirkliche Kraft in diesem Sinne. Wenn ich also sage, dass Sie eine Zentrifugalkraft haben, denke ich, dass Sie sich in diesem rotierenden Referenzrahmen befinden. Und im rotierenden Rahmen bewegt sich der Planet überhaupt nicht. Und indem es sich in diesem rotierenden Rahmen nicht bewegt, dreht es sich im statischen Rahmen um die Sonne. Da sich der Planet nicht bewegt, darf keine Kraft auf ihn wirken. Der Aufbau eines Kräftegleichgewichts ist der Weg, dies zu erreichen.

Aber unser Tutor hat mir gesagt, dass es auch im statischen Bezugssystem ein Kräftegleichgewicht gibt. Ich sage, wenn Sie dort ein Gleichgewicht haben, gibt es keine Nettokraft, daher bewegt sich der Planet nur entlang einer geraden Linie in einem statischen Rahmen. Mir wurde dann gesagt, dass, obwohl es keine Nettokraft gibt, die Kräfte immer noch da sind.

An diesem Punkt denke ich, dass dies die Umwandlung von Dynamik in Statik ist, indem entgegengesetzte Kräfte hinzugefügt werden, sodass sich alles aufhebt.

Angenommen, wir haben eine Nettokraft (Schwerkraft) auf dem Planeten.

http://wstaw.org/m/2011/11/15/m10.png

Diese Kraft ist ungefähr so, wenn sich der Planet gedreht hat$\theta$um die Sonne:

$$\vec{F_G} \propto \left( \begin{matrix} -\cos(\theta) \\ -\sin(\theta) \end{matrix} \right)$$

Wenn Sie dies integrieren, erhalten Sie die Geschwindigkeit und die Position des Planeten.

$$\int \vec{F_G} \, \mathrm d\theta \propto \left( \begin{matrix} -\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{matrix} \right)$$

Das scheint sehr gut zu sein, da es entlang des Kreises geht, also ist dies die Tangentialgeschwindigkeit.

$$\iint \vec{F_G} \, \mathrm d\theta \propto \left( \begin{matrix} \cos(\theta) \\ \sin(\theta) \end{matrix} \right)$$

Und das ist einfach die Position um den Einheitskreis herum.

Sie können ersetzen$\theta$mit$\omega t$wenn Sie den Winkel mit der Zeit ausdrücken möchten.

Ich behaupte also, dass Sie eine Nettokraft benötigen, damit die kreisförmige Flugbahn überhaupt erscheint. Mein Tutor sagte mir, dass, wenn die Kraft zu hoch (zu schwach) ist, der Planet in (von) der Sonne spiralförmig ist, und daher das Gleichgewicht vorhanden sein muss. Das ergibt für mich keinen Sinn. Was für mich Sinn macht, ist, dass es keinen Kreis gibt, wenn die Flugbahn zu stark (nicht genug) abgelenkt wird, um einen Kreis zu bilden.

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Wenn Sie keine Kraft haben, sieht die Integration ganz anders aus:

$$F = 0$$

$$\int F \, \mathrm dt = \underbrace{0t}_{a=0} + \underbrace{c_1}_{v_0}$$

$$\iint F \, \mathrm dt = \underbrace{0t^2}_{a=0} + \underbrace{c_1t}_{v_0} + \underbrace{c_2}_{d_0}$$

Letzteres ist dein$d = v_0 t + d_0$, die eine lineare, unbeschleunigte Bewegung modelliert. Im rotierenden System$v_0$ist einfach null, und es funktioniert. Im statischen System würde das bedeuten, dass der Planet entweder stillsteht oder sich auf einer geraden Linie bewegt – was nicht wirklich passiert.

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Ich behaupte also, dass es kein Kräftegleichgewicht geben darf, damit sich die Erde dreht – das ist die grundlegende Meinungsverschiedenheit, die wir haben.

Wer hat Recht? Oder haben wir beide recht und betrachten das gleiche Problem nur unterschiedlich?