Zunehmender Einfluss der Masse auf das Gleichgewicht zwischen Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft

Solange Sie die Masse so hinzufügen, dass die Geschwindigkeit nicht beeinflusst wird, ändert sich die Umlaufbahn nicht (Ihr Stern muss ebenfalls fixiert sein).

Sagen wir der Planet (Masse$M$) kreist auf einem Radius$R$, über einen Massestern$M_\star$. Die Umlaufgeschwindigkeit ist

$$v_1=\sqrt{\frac{GM_\star}{R}}$$ . Nun, in den Kommentaren haben Sie angegeben, dass Sie die Masse auf eine Weise hinzugefügt haben, die sich nicht direkt auf ihre Geschwindigkeit auswirkt. Da der Impuls erhalten bleibt, ist die einzige Möglichkeit, dies zu tun, die zusätzliche Masse zu geben $m$eine Geschwindigkeit $v_1$sowie zu dem Zeitpunkt, zu dem es den Planeten erreicht. Wie Sie sehen können, ändert sich der Drehimpuls nicht, wenn der Planet die Masse einfängt ( $mv_1R+Mv_1R=(m+M)v_1R$). Da es keine Änderung des Drehimpulses gibt, wird es mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit umkreisen. Bei gleicher Winkelgeschwindigkeit ist auch der Radius gleich. Es bleibt also in einer stabilen Umlaufbahn. Diesen bekommt man direkt von $v_1=\sqrt{\frac{GM_\star}{R}}$sowie.

Was wäre, wenn die Masse ruhte und gefangen genommen wurde? Nun, dann würde durch Erhaltung des linearen Impulses die Geschwindigkeit auf abnehmen$v_2$. Da die Geschwindigkeit abgenommen hat, wird es in eine elliptische Umlaufbahn eintreten. Wenn die Geschwindigkeit zugenommen hätte, könnte die Umlaufbahn elliptisch sein, aber sie kann auch hyperbolisch (größer als die Fluchtgeschwindigkeit) sein und das System ebenfalls verlassen. Dies hängt vom Massenverhältnis ab.

Wenn die zentrale Masse nicht fixiert war, kreisen die Massen um den Massenmittelpunkt (Schwerpunkt), und die Umlaufwinkelgeschwindigkeit ist gegeben durch$\omega=\sqrt{\frac{G\mu}{R^3}}$(Beachten Sie, dass ich in diesem Fall die Winkelgeschwindigkeit verwende, da der Stern und der Planet unterschiedliche Geschwindigkeiten haben).$R$ist der Abstand zwischen den Objekten, und$\mu=\frac{MM_\star}{M+M_\star}$ist die reduzierte Masse. Man sieht, dass je nachdem, wie man die kleine Masse hinzufügt, und je nach Verhältnis zwischen den drei Massen, ganz unterschiedliche Dinge passieren können. Vielleicht möchten Sie dies selbst analysieren (da es nicht Teil der Frage ist und eine ziemlich interessante Übung ist).

Die Umlaufbahn eines Planeten ist unabhängig von der Masse, solange die Masse klein ist im Vergleich zu dem Stern, den er umkreist, dh den Schwerpunkt des Stern-Planeten-Systems nicht wesentlich verändert. Eine Änderung der Masse um einen kleinen Betrag im Vergleich zur Masse des Sterns macht also kaum einen Unterschied.

Planeten bewegen ihren Stern offensichtlich ein wenig, denn auf diese Weise wurden die ersten extrasolaren Planeten entdeckt, dh indem sie entdeckten, dass sich ihr Stern bewegte, als der Planet ihn umkreiste. Dieser Effekt ist jedoch ziemlich gering, es sei denn, wir sprechen von einem jupitergroßen Planeten, der sehr nahe am Stern kreist.

Ich gehe davon aus, dass die Masse mit der gleichen Geschwindigkeit wie der Planet hinzugefügt wird.

Betrachten Sie zuerst den Fall, in dem die Masse des Planeten groß sein kann. Lassen${\bf r}$sei die relative Position und$\mu = \frac{M m}{M+m}$sei die reduzierte Masse. Das zweite Gesetz nimmt die Form an

$$\mu \ddot {\bf r} = {\bf F}_{\mathrm{int}} = -\frac{G M m}{r^3} {\bf r},$$ So $$\ddot {\bf r}= -\left(1+\frac{m}{M}\right) \frac{G M}{r^3} {\bf r}.$$

Nehmen Sie aus Gründen der Argumentation an, dass die Umlaufbahn anfänglich kreisförmig ist. Das sieht man wenn$m$steigt, werden die Körper tendenziell näher beieinander liegen. (Zunehmend$m$ist in der Tat gleichbedeutend mit einer Erhöhung$G$.) Die Umlaufbahn wird elliptisch.

Ebenso wenn$m$abnimmt, werden die Körper tendenziell weiter voneinander entfernt sein. Tatsächlich werden die Umlaufbahnen kreisförmiger. Der Planet wird niemals entkommen.

Wenn die Anfangs- und Endmasse des Planeten vernachlässigbar sind,

$$\ddot {\bf r}= -\frac{G M}{r^3} {\bf r}.$$ Somit wird die Bewegung des Planeten durch die Hinzufügung von Masse unbeeinflusst. Dies ist natürlich nur das Äquivalenzprinzip.

Ich werde später ein Bild zeichnen, um dies zu veranschaulichen.

Die Bewegung im zentralen Schwerefeld wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

$$\frac{M\dot{r}^2}{2} - \frac{M\alpha}{r} + \frac{M\beta^2}{2r^2} = E = \text{const} \qquad (1)$$ Wo $$\alpha = M_\text{star}G$$ $$\beta = \frac{L_z}{M} = \frac{[\vec{r}\times\vec{v}]_z}{M} = \text{const}$$

Wenn die Masse des Planeten$M$wird erhöht um$m$ohne Änderung der Geschwindigkeit wird die Gleichung (1).

$$\frac{(M+m)\dot{r}^2}{2} - \frac{(M+m)\alpha}{r} + \frac{(M+m)\beta^2}{2r^2} = E + \frac{mv_0^2}{2} - \frac{m\alpha}{r_0} = \text{const}$$ Wo $v_0$Und $r_0$sind die Geschwindigkeit und die Position des Planeten in dem Moment, in dem sich seine Masse ändert.

Die effektive potentielle Energie

$$U(r) = -\frac{M\alpha}{r} + \frac{M\beta^2}{r^2}$$ wird mit dem Faktor skaliert $(1+m/M)$aber qualitativ nicht verändert.

Die Gesamtenergie für endliche Bewegung ist negativ, dh$E<0$.

Die neue Flugbahn hängt von der Änderung der Energie ab

$$\Delta E = \frac{mv_0^2}{2} - \frac{m\alpha}{r_0}$$

Wenn$E + \Delta E \geq 0$dann wird die Flugbahn unendlich und der Planet fliegt davon. Andernfalls bleibt es auf der Umlaufbahn.

Man kann die Änderung der Umlaufbahn finden, indem man die Faktoren vergleicht$(1+m/M)$Und$(1+\Delta E / E)$.