Kann die Masse eines umkreisenden Objekts und des umkreisten Objekts allein durch die Entfernung und die Umlaufgeschwindigkeit bestimmt werden? [Duplikat]

Nein, wenn Sie nur den Abstand zwischen den Objekten und die relative Umlaufgeschwindigkeit des Planeten kennen, können Sie seine Masse nicht bestimmen. Wenn Sie nur die Entfernung und Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt kennen, haben Sie nicht genügend Informationen, um die Umlaufbahn zu bestimmen.

Angenommen, wir kennen die Entfernung$r$und die relative Umlaufgeschwindigkeit$\vec{v}=(v_r,v_T)$eines Planeten zu einem bestimmten Zeitpunkt. Hier,$v_r=\dot{r}$die radiale Geschwindigkeitskomponente ist, und$v_T$die tangentiale Komponente. Die Umlaufbahn des Planeten hat zwei Bewegungskonstanten: die spezifische Umlaufenergie $E$und dem spezifischen relativen Drehimpuls $h$:

$$\begin{align} E &= \frac{1}{2}v_{r}^2 + \frac{1}{2}v_{T}^2 - \frac{\mu}{r}= -\frac{\mu}{2a},\\ h^2 &= r^2\,v^2_{T} = \mu a(1-e^2), \end{align}$$ Wo $a$ist die große Halbachse der Umlaufbahn, $e$ist die orbitale Exzentrizität, und $\mu = G(M_\text{p} + M_\text{s})$, mit $M_\text{p}$die Masse des Planeten und $M_\text{s}$die Masse des Sterns. Wir haben also zwei Gleichungen und drei Unbekannte $(\mu,a,e)$, mit anderen Worten, wir brauchen zusätzliche Informationen, um sie zu lösen.

Wenn wir zum Beispiel annehmen, dass die Umlaufbahn kreisförmig ist, dann$e=0$, und wir können nach auflösen$\mu$Und$a$. Eine andere Möglichkeit ist, dass wir den Abstand und die Geschwindigkeit zu zwei Zeitpunkten kennen$t_1$Und$t_2$, Dann

$$\frac{1}{2}v_{r}^2(t_1) + \frac{1}{2}v_{T}^2(t_1) - \frac{\mu}{r(t_1)}=\frac{1}{2}v_{r}^2(t_2) + \frac{1}{2}v_{T}^2(t_2) - \frac{\mu}{r(t_2)},$$ und wir können lösen $\mu$, und aus den ersten beiden Gleichungen wissen wir $a$Und $e$. Eine dritte Möglichkeit ist, dass wir die Umlaufzeit kennen $T$des Planeten. In diesem Fall können wir Keplers drittes Gesetz anwenden: $$T^2 = (2\pi)^2\frac{a^3}{\mu},$$ was in Kombination mit den ersten beiden Gleichungen ergibt $(\mu,a,e)$. Jedenfalls können wir nur ableiten $\mu = G(M_\text{p} + M_\text{s})$, dh wir kennen nur die Summe der Massen (die von der Masse des Sterns dominiert wird).

Wenn Sie die Masse des Planeten ableiten möchten, müssen Sie die Bewegung des Planeten und des Sterns in Bezug auf ihren gemeinsamen Massenschwerpunkt kennen . Wenn$(r_\text{p},v_{r,\text{p}},v_{T,\text{p}})$Und$(r_\text{s},v_{r,\text{s}},v_{T,\text{s}})$sind dann die Position und Geschwindigkeit des Planeten und des Sterns in Bezug auf ihren gemeinsamen Massenschwerpunkt

$$\begin{align} E_\text{p} &= \frac{1}{2}v_{r,\text{p}}^2 + \frac{1}{2}v_{T,\text{p}}^2 - \frac{\mu_\text{p}}{r_\text{p}}= -\frac{\mu_\text{p}}{2a_\text{p}},\\ h^2_\text{p} &= r^2_\text{p}\,v^2_{T,\text{p}} = \mu_\text{p} a_\text{p}(1-e^2),\\ E_\text{s} &= \frac{1}{2}v_{r,\text{s}}^2 + \frac{1}{2}v_{T,\text{s}}^2 - \frac{\mu_\text{s}}{r_\text{s}}= -\frac{\mu_\text{s}}{2a_\text{s}},\\ h^2_\text{s} &= r^2_\text{s}\,v^2_{T,\text{s}} = \mu_\text{s} a_\text{s}(1-e^2), \end{align}$$ und außerdem, wenn wir es wissen $T$, $$T^2 = (2\pi)^2\frac{a^3}{\mu} = (2\pi)^2\frac{a^3_\text{p}}{\mu_\text{p}} = (2\pi)^2\frac{a^3_\text{s}}{\mu_\text{s}}.$$ Im Prinzip sind dies fünf Gleichungen mit fünf Unbekannten $(\mu_\text{p},\mu_\text{s},a_\text{p},a_\text{s},e)$(Eigentlich sind dies sechs Gleichungen, aber sie sind nicht unabhängig; beachten Sie auch, dass die Exzentrizitäten der Umlaufbahnen gleich sind). Auch $$\begin{align} r &= r_\text{p} + r_\text{s},\\ a &= a_\text{p} + a_\text{s},\\ M_\text{p}r_\text{p} &= M_\text{s}r_\text{s},\\ M_\text{p}a_\text{p} &= M_\text{s}a_\text{s},\\ \mu_\text{p} &= \frac{GM_\text{s}^3}{(M_\text{p} + M_\text{s})^2},\\ \mu_\text{s} &= \frac{GM_\text{p}^3}{(M_\text{p} + M_\text{s})^2}. \end{align}$$ Sobald die Gleichungen gelöst sind, können Sie ableiten $a$Und $\mu$(unter erneuter Verwendung von Keplers drittem Gesetz). Also hast du $M_\text{p}/M_\text{s}$Und $M_\text{p} + M_\text{s}$, damit Sie ableiten können $M_\text{p}$Und $M_\text{s}$separat.

In der Praxis ist es meist zu schwierig zu messen$r_\text{p}$Und$r_\text{s}$, weil der Massenmittelpunkt sehr nahe am Mittelpunkt des Sterns liegen wird. Sondern durch Messung der Geschwindigkeiten an zwei Stellen$t_1$Und$t_2$, können wir behandeln$r_\text{p}$Und$r_\text{s}$als zusätzliche Unbekannte und berechnen Sie diese ebenfalls.

Wenn Sie den Abstand zwischen den beiden Objekten und die Geschwindigkeit des umkreisenden Objekts kennen, können Sie nur die Masse des umkreisten Objekts bestimmen. Wenn Sie also im Fall der Erde und des Mondes die Entfernung zwischen den beiden und die Geschwindigkeit des Mondes kennen, können Sie die Entfernung bestimmen, die der Mond in einer Umlaufbahn zurücklegt, und wie lange es dauert - das heißt, die Periode. Aus der Umlaufdauer lässt sich die Masse der Erde bestimmen, nicht aber die Masse des Mondes.

Die Antwort auf die Titelfrage lautet also, dass Sie nur die Masse des umkreisten Objekts bestimmen können. In Bezug auf die im ersten Absatz des Textes gestellte Frage hat die Masse des umkreisenden Objekts keinen Einfluss darauf, wie „schnell“ es das andere Objekt umkreist.