Drittes Kepler-Gesetz und Massenabhängigkeit

Der$M+m$drittens ist das Keplersche Gesetz ein Überbleibsel der reduzierten Masse , die mit dem Zwei-Körper-Problem verbunden ist . Grob gesagt bilden wir ein gekoppeltes und kompliziertes System zweier wechselwirkender Teilchen in ein äquivalentes Problem entkoppelter Differentialgleichungen ab, von denen eine die Bewegung eines Teilchens reduzierter Masse beschreibt$\mu$unter einem zentralen Potential, das der Gravitationswechselwirkung entspricht.

Durch die Integration des zweiten Keplerschen Gesetzes,$dA/dt=L/2\mu$, über eine vollständige Umlaufbahn erhalten wir

Beachten Sie, dass wir für das Sonnensystem normalerweise haben$M\gg m$also vernachlässigen wir normalerweise$m$.

Die Aussage, dass die Masse des kleineren Körpers vernachlässigt werden kann, ist in vielen realen Situationen eine nützliche Annäherung. Der Unterschied zwischen$M$Und$M+m$für das Erde-Mond-System beträgt nur etwa 1%. Für Erde und Satelliten oder Sonne und Planeten kann dieser Betrag ignoriert werden, es sei denn, Sie kommen auf mehrere Dezimalstellen der Genauigkeit.

Oft kommen diese vereinfachten Formeln mit der angegebenen Annahme, dass$M \gg m$.

Der Grund, warum die Masse des kleineren Körpers von Bedeutung ist, liegt darin, dass das Gravitationsfeld, durch das er sich bewegt, nicht statisch ist, sondern vom anderen Körper abhängt. Der kleinere Körper kann den größeren beschleunigen, so dass sich das Feld mit der Zeit ändert und diese Änderung die Periode verkürzt.

$m$hebt sich nur in der Grenze auf, dass das Gravitationsfeld statisch ist.

Man muss die Bedeutung von berücksichtigen$R$, da sich die große Halbachse normalerweise auf den halben Abstand zwischen Periapsis und Apoapsis aus der Perspektive eines Massenmittelpunkts der beiden Himmelskörper beziehen kann (nur unter der Annahme eines Zweikörperproblems). In diesem Fall bezieht es sich jedoch tatsächlich auf die Abstände zwischen den beiden Körpern.

Für eine kreisförmige Umlaufbahn kann dies gezeigt werden, aber es sollte auch für elliptische Umlaufbahnen gelten. Der Massekörper$m_1$wird in einer Entfernung von umkreisen$r_1$vom Massenmittelpunkt und dem Massenkörper$m_2$wird in einer Entfernung von umkreisen$r_2$vom Massenmittelpunkt. Wie bereits erwähnt$R = r_1 + r_2$und aus dem Schwerpunkt folgt das$m_1\,r_1 = m_2\,r_2$. Auflösen für$r_1$Und$r_2$gibt$r_1 = m_2\,R\,(m_1 + m_2)^{-1}$Und$r_2 = m_1\,R\,(m_1 + m_2)^{-1}$. Die Gesamtkraft zwischen den beiden Körpern folgt aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz

Aber jeder Körper wird sich auf seiner eigenen kreisförmigen Bahn um den gemeinsamen Massenmittelpunkt bewegen. Wird nämlich auf einen Körper senkrecht zu seiner Geschwindigkeit nur eine Kraft konstanter Größe ausgeübt, dann bewegt er sich mit konstanter Geschwindigkeit entsprechend auf einer Kreisbahn

mit$\omega = 2\,\pi\,T^{-1}$die Winkelgeschwindigkeit. Die einzige Kraft, die auf jeden Körper wirkt, ist also die Schwerkraft$F_{\perp} = F_g$. Gleichsetzen der rechten Seiten von Gleichungen$(1)$Und$(2)$und entweder einwechseln$1$oder$2$für$i$beides gibt

Das Vereinfachen dieses Ausdrückens gibt tatsächlich

Wenn Sie jedoch die große Halbachse lieber als den halben Abstand zwischen Periapsis und Apoapsis aus der Perspektive eines Massenschwerpunkts definieren möchten, dann gilt die Gleichung$(4)$umgeschrieben werden kann

Allerdings wann$m_1 \gg m_2$dann Gleichung$(6)$noch vereinfacht zu

Wenn Sie versuchen zu verstehen, wie sich die Masse des umkreisenden Planeten auf seine Periode auswirken könnte, sollten Sie bedenken, dass die Beschleunigung eines Objekts in einem Gravitationsfeld zwar nicht von der Masse des Objekts abhängt ($a = \frac{GM}{r^2}$), wird die Bewegung der größeren Masse durch die Masse des kleineren Objekts beeinflusst. Die Bewegung des größeren Objekts, die durch das Vorhandensein des kleineren Objekts im Laufe der Zeit hervorgerufen wird, kann den Abstand zwischen den beiden Objekten von der Masse des kleineren Objekts abhängig machen, und die von der kleineren Masse gefühlte Beschleunigung steht in direktem Zusammenhang mit dem Abstand zwischen den beiden Objekte.