Bewegen sich Planeten tatsächlich auf elliptischen Bahnen um die Sonne oder auf Kreisbahnen um ihren Massenmittelpunkt?

In einem idealen Zwei-Körper-System (sagen wir eine Sonne und ein Planet) würden sich beide Körper um ihren Schwerpunkt bewegen. Eine ideale periodische Umlaufbahn wäre eine Ellipse oder ein Kreis.

BEARBEITEN: Siehe Kommentar von @ user11153 zum Baryzentrum des Sonnensystems und verwandten Links.

In einem komplexeren System wie unserem Sonnensystem können die Planeten in guter Näherung durch ein Zweikörpersystem modelliert werden (dh die Sonne ist so massiv, dass sie der dominierende Effekt ist) und für viele praktische Zwecke die Bewegung der Sonne um das Baryzentrum ist nicht signifikant, da das Baryzentrum tatsächlich innerhalb der Sonne liegt.

Genauere Berechnungen der Bewegung eines Planeten erfordern die Berücksichtigung der Gravitationsstörung anderer Planeten sowie die Berücksichtigung des Massenschwerpunkts und relativistischer Effekte. Der Nettoeffekt besteht darin, dass tatsächlich keine Planeten in idealen elliptischen Umlaufbahnen kreisen.

Bewegen sie sich also tatsächlich auf elliptischen Bahnen um die Sonne oder auf Kreisbahnen um ihren Massenmittelpunkt?

Ich habe aus dieser Frage den Eindruck, dass Sie denken, dass die elliptischen Bahnen das Ergebnis der Verwendung des Schwerpunkts als Bewegungszentrum sind und dass sonst ein Kreis die Form der Bahn wäre.

Das ist nicht der Fall. Die allgemeine Form einer Umlaufbahn in einem idealen Zweikörpersystem mit Newtonscher Gravitationskraft ist eine Ellipse. Ein Kreis ist ein Spezialfall einer Ellipse.

Betrachten Sie ein 2-Körper-System, ein Masse-$m$Planet der Position$\mathbf{r}$eine Masse umkreisen-$M\gg m$Stern der Position$\mathbf{R}$. (Ich beziehe mich auf die Massenschwerpunkte der Körper.) Newtons drittes Gesetz impliziert den Schwerpunkt des Systems$\mathbf{b}:=\frac{m\mathbf{r}+M\mathbf{R}}{M+m}$wird konserviert. In der Newtonschen Mechanik bewegt sich jeder Körper in einer Ellipse, von der ein Schwerpunkt ist$\mathbf{b}$, aber natürlich ist die Umlaufbahn des Planeten größer als die des Sterns. (Tatsächlich, da keiner der Körper eine Punktmasse ist, kann das Baryzentrum durchaus innerhalb des Volumens des Sterns liegen.) Reale Planetensysteme sind komplizierter, nicht nur wegen mehr Körpern, sondern auch, weil sogar ein 2-Planeten-System vorhergesagt wird Spezielle Relativitätstheorie, um eine orbitale Präzession zu erleiden , so dass eine unveränderliche geschlossene Ellipse nicht wiederholt verfolgt wird. Dies sind jedoch kleine Korrekturen, die das ungefähre elliptische Verhalten der Umlaufbahnen nicht ändern.

Unter der Annahme eines idealen Zwei-Körper-Falls wie Sonne und Erde kreisen beide auf zwei elliptischen Bahnen um das Baryzentrum. Diese beiden Umlaufbahnen sind in der Geometrie ähnlich und proportional zu ihrem relativen Abstand vom Schwerpunkt skaliert.

Wenn die Erde am weitesten Punkt ihrer Umlaufbahn ist, befindet sich die Sonne am weitesten Punkt ihrer Umlaufbahn; und beide bewegen sich mit ihrer langsamsten Geschwindigkeit. Wenn sie sich am nächsten Punkt ihrer relativen elliptischen Umlaufbahn befinden, bewegen sie sich am schnellsten. Beide haben ungefähr im Januar, wenn die Erde der Sonne am nächsten ist, die größte Beschleunigung zueinander und voneinander.

Wenn wir dann die Wirkung anderer Planeten hinzufügen, wackelt das Baryzentrum des Systems auf einer rotierenden komplexen Bahn, aber die Bahn der Planeten ist keine perfekte elliptische Umlaufbahn mehr.

Zu Beginn der Antwort muss ich allen, die sich für die Bewegungen von Himmelskörpern interessieren, und allen wissenschaftlichen Institutionen erwähnen, dass das Keplersche Gesetz in Bezug auf die tatsächlichen Bahnen der Himmelskörper falsch ist. Jedes System hat seinen Massenmittelpunkt (peričenter), um den sich alle Teilnehmer des Systems drehen, einschließlich des Hauptkörpers, um den sich andere Gefährten drehen. Der Massenschwerpunkt des Sonnensystems ist die Sonne und um sie herum rotieren alle Massenschwerpunkte anderer Systeme (planetarisch), und die Sonne und der variable Sinusradius, außer dass die Sonne ihren Spin hat (Rotation um ihre Achse). Die Vektoren des Spins und der Rotation der Sonne um den Massenmittelpunkt des Sonnensystems haben den gleichen Wert, aber entgegengesetzte Richtungen. Dies gilt für Planeten, wenn sie um den Massenmittelpunkt des Planetensystems rotieren. Somit wandert der Massenmittelpunkt des Planeten (Erde und Mond) um die Kepler-Ellipse, bzw. die Erde und der Mond haben ihren Spin, der gleich der Drehung um den Massenmittelpunkt der Planeten und des Mondes ist, um den Mittelpunkt Masse mjeseca.Ta zwei Spin sind gleich groß, oder entgegengesetzte Richtungen (Kopplung von Momenten). Die Erde dreht sich also um den Massenmittelpunkt des Planeten (der sich etwa 1.500 km unter der Erdoberfläche befindet) und um die Ellipse, auf der sich der Massenmittelpunkt bewegt, eine Sinuskurve, deren wahrer Anomaliewinkel entsteht. Der Mond dreht sich um den Massenmittelpunkt des Planeten (und sein Massenmittelpunkt variiert gemäß Keplers Ellipsen, während ich einen Monat Zeit habe, um mich zu drehen und um seinen eigenen Schwerpunkt zu drehen, der dieselbe Größe, aber entgegengesetzte Richtungen hat. Diesen Nachweis habe ich auf ca. 15 Seiten Formeln und Diagrammen erbracht.