Warum ist die Anziehungskraft der Sonne eine zentrale Kraft, wenn sie nicht im Zentrum einer elliptischen Umlaufbahn liegt?

Geschlossene Keplerbahnen sind Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt.

Die Kraft, die der Planet spürt, zeigt in Richtung Sonne. Als solche ist es keine zentrale Kraft, da der Fokus nicht das Zentrum ist.

Ich bin verwirrt. Die Kraft sollte zentral sein. Was ist mein Missverständnis?

Die Bezeichnung "Mittelkraft" ergibt etwas mehr Sinn, nachdem die kanonische Transformation für zwei Körperkräfte in Schwerpunktkoordinaten durchgeführt wurde.
"Zentralkraft" bedeutet, dass die Kraft eine Funktion des skalaren Abstands zwischen dem betreffenden Teilchen und einem einzelnen Punkt im Raum ist - es bedeutet nicht, dass die resultierende Umlaufbahn diesen Punkt als geometrischen Mittelpunkt hat. Das Zwei-Körper-Problem ist im strengsten Sinne kein zentrales Kraftproblem, aber es kann leicht auf eines reduziert werden, indem die oben erwähnte Transformation von @dmckee durchgeführt wird.
@J.Murray Das sieht aus wie eine Antwort, kein Kommentar.
Ziemlich wichtig, die Kraft befindet sich zu jedem Zeitpunkt im Zentrum des betreffenden Körpers. Es ist ein Kraftfeld, also kümmert es sich nicht um den zeitparametrisierten Pfad.

Antworten (3)

Wir wählen im Allgemeinen den Standort der Sonne als unseren Ursprung. Sie haben Recht, wenn Sie erkennen, dass dies der Fokus der Ellipse ist. Wir entscheiden uns dann dafür, Größen relativ zur Sonne als Ursprung zu nehmen. zB ist der radiale Abstand einer Ellipse von einem Brennpunkt gegeben durch

R = A ( 1 − e 2 ) 1 ± e cos ⁡ θ ,
Um den Abstand vom Zentrum der Ellipse anzugeben, lautet der Ausdruck
R = A B B 2 cos 2 ⁡ θ + A 2 Sünde 2 ⁡ θ .

Weiterhin definieren wir Dinge wie R → von der Sonne und Drehimpuls R → × P → . Jetzt werde ich versuchen zu erklären, warum wir uns dafür entschieden haben.

Überlegen Sie, ob wir stattdessen den Mittelpunkt der Ellipse verwenden würden. Diese Position des Zentrums hängt von den Orbitalelementen der betrachteten Umlaufbahn ab. Das Zentrum unseres Ursprungs für die Erde-Sonne wäre also ein anderes als das von Sonne-Jupiter. Das klingt unglaublich fummelig, damit zu arbeiten. ZB wäre der Drehimpuls für Jupiter bedeutungslos mit dem Drehimpuls der Erde zu vergleichen, da er um einen anderen Punkt aufgenommen wird. Wenn wir stattdessen die Sonne verwenden, bleibt der Ursprung bestehen, und die beiden Drehimpulse werden für den Vergleich sinnvoll.

Außerdem hat es eine gute physikalische Bedeutung, denn wie Sie auch richtig erkennen, zieht uns die Schwerkraft dorthin. Das bedeutet, dass wir die sphärische Symmetrie leicht nutzen können, wenn wir diesen Ursprung wählen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Fokus als Ursprung physikalisch sinnvoll ist. Die Position des Zentrums der Ellipse hängt von der jeweiligen Umlaufbahn ab, die Sie betrachten, und ist kein sehr nützlicher Ursprung, um die Mathematik zu verwenden. Wenn wir dann sagen, dass etwas zentral ist, meinen wir um unseren gewählten Ursprung herum, der hier im Mittelpunkt steht.

Der Punkt im Raum, den Sie als Ursprung definieren, kann die Natur der Kraft nicht ändern, da sich die Natur nicht um Koordinatensysteme kümmert.

Wenn wir sagen, dass eine zentrale Kraft befriedigt

F → = F ( R ) R ^ ,
Wir definieren den Ursprung als Kraftzentrum. Wir können jedoch das Kraftzentrum an der Position betrachten R → 0 und in diesem Fall ist die zentrale Kraft gegeben durch
F → = F ( | R → − R → 0 | ) ( R → − R → 0 ) | R → − R → 0 | .
Wie Sie erraten können, können Sie die Sonne als vom Ursprung entfernt betrachten, aber die Kraft ist immer noch zentral.

Ja, aber wenn du Dinge schreibst wie R ( θ ) = a / ( 1 + ϵ cos ⁡ ( θ ) ) Und L → = R → × P → die Mengen R → Und R werden in Bezug auf das Zentrum gemessen und nicht auf die Sonne, richtig?

Sowohl die Sonne als auch die Erde bewegen sich tatsächlich in einer Ellipse und jede ihrer Ellipsen hat einen Fokus im Massenmittelpunkt der beiden, auch bekannt als Baryzentrum.

Unsere Sonne ist etwa 333.000 Mal massereicher als die Erde. Daher ist seine Ellipse winzig im Vergleich zur Ellipse der Erde und wir können sie ignorieren. Ich habe irgendwo gelesen (und es wäre einfach genug, die Berechnung durchzuführen), dass unsere Sonne etwa 4 km von der Masse der Erde gezogen wird, wenn sich die Erde um sie herum bewegt. 4 km vom Zentrum der Sonne wäre noch in der Sonne.

Wenn beide Objekte die gleiche oder ähnliche Masse haben, wie in einem binären System, ist es offensichtlicher, dass sich jedes entlang seiner eigenen Ellipse bewegt, wobei sich ihre Brennpunkte im Massenmittelpunkt des Systems befinden.

Die Kraft wirkt auf diesen Massenmittelpunkt, nicht genau auf den Sonnenmittelpunkt.

Der Verarbeitungscode hier könnte helfen und demonstrieren .

Selbst wenn Sie den Unterschied zwischen dem Massenmittelpunkt und dem Zentrum der Sonne außer Acht lassen, können sie immer noch weit vom Zentrum der Umlaufbahn entfernt sein. Das ist der Punkt.
Wenn Sie "Zentrum der Umlaufbahn" sagen, meinen Sie den Fokus der Ellipse oder denken Sie an das Zentrum der Ellipse, wo sich die Haupt- und Nebenachse schneiden?
Der Massenmittelpunkt des Systems befindet sich in einem der Brennpunkte der Ellipse, und jedes Objekt bewegt sich auf einer separaten Ellipse mit einem gemeinsamen Brennpunkt.
Warum ist die Anziehungskraft der Sonne eine zentrale Kraft, wenn sie nicht im Zentrum einer elliptischen Umlaufbahn liegt?
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