Fehler beim Beweis des Virialsatzes für die Gravitation

Der Virialsatz $\langle U\rangle_t =-2\langle T\rangle_t$ist für Zeitmittelwerte$\langle f\rangle_t=\frac{1}{T}\int_0^T\! \mathrm{d}t~f(t)$, während OP Winkelmittelwerte berücksichtigt$\langle f\rangle_{\theta}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\! \mathrm{d}\theta~f(\theta)$. Diese Mittelwerte werden im Allgemeinen aufgrund der größeren (kleineren) Winkelgeschwindigkeit am Perigäum (Apogäum) unterschiedlich sein. Natürlich, wenn die Exzentrizität $e\propto B$Null ist, die Winkelgeschwindigkeit konstant ist und die Unterscheidung keine Rolle spielt.

Ich wollte die Antwort von Qmechanic näher erläutern.

Der Winkelmittelwert für$f(\theta)$Ist$\langle f(\theta)\rangle_\theta= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(\theta) d\theta$. Der Zeitdurchschnitt von$f(\theta)$Ist$\langle f(\theta)\rangle_t=\frac{1}{\tau}\int_0^{2\pi} \frac{f(\theta)}{\dot{\theta}} d\theta$.

Wo$1/\dot{\theta}=\frac{m}{L(A+B\cos{\theta})^2}$Und$\tau=\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{\dot{\theta}}$.

Das führt zu$\langle\cos {\theta} \rangle=-\epsilon$.

Relevante Integrale können per Einstellung ausgewertet werden$I=\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{A+B\cos{\theta}}=\int_\lambda \frac{-idz}{z[1+\epsilon(\frac{z+1/z}{2})]}$und mit dem Restsatz. Dann können die anderen Integrale zur Berechnung der Mittelwerte durch Ableitungen von I bestimmt werden. Schließlich$\langle \cos{\theta}\rangle=-\epsilon=-B/A$. Letztendlich ergibt sich das erwartete Ergebnis aus dem Virialsatz,$2\langle T\rangle/\langle V \rangle=-1.$