Ist das Gravitationspotential eines Planeten im Orbit immer gleich minus dem Quadrat der Geschwindigkeit?

Sprich ein Planet (Masse m ) umkreist einen Stern (Masse M ) in einem perfekten Kreis, also in einer kreisförmigen Bewegung.

F = m a und die Gravitationskraft zwischen zwei Massen F = G M m r 2 Also

G M m r 2 = m a

G M r 2 = a

Und das in Kreisbewegung a = v 2 r Also

G M r 2 = v 2 r

G M r = v 2

Und Gravitationspotential v = − G M r

So v 2 = − v

Gibt es einen (qualitativen/weniger mathematischen/wortreichen) Grund, warum dies der Fall ist? (oder habe ich das falsch verstanden?) Und ist dies auf den speziellen Fall einer perfekten Kreisbewegung beschränkt?

Antworten (2)

Sie sind gerade über den Virialsatz gestolpert .

Es besagt im Wesentlichen, dass in einem gebundenen System der Durchschnitt der potentiellen Energie v bezieht sich auf den Mittelwert der kinetischen Energie T wie

⟨ v ⟩ 2 = − ⟨ T ⟩
wobei die spitzen Klammern einen zeitlichen Mittelwert angeben.

Beachten Sie, dass die obige Formel nur für ein Potenzial gilt, das als geht 1 / r . Wie der obige Wikipedia-Link zeigt, wird die allgemeinere Formel als angegeben

n ⟨ v ⟩ 2 = ⟨ T ⟩
für jedes Potenzial, das als geht r n .

Beachten Sie, dass stabile Umlaufbahnen nur für existieren n = 1 (obwohl gebundene Zustände offensichtlich immer noch existieren können)
Wollte sagen n = − 1 und n = 2
@JerrySchirmer Ich denke, Sie meinten genau geschlossene Umlaufbahnen (vgl. Theorem von Betrand)? Die Klasse der Potenzgesetz-Zentralpotentiale, die zu stabilen Umlaufbahnen führen, ist viel größer, nicht wahr?
@jibe: ja. Das ist fair.

Gravitationspotential Energie U wird in Joule gemessen und ist proportional zur Partikelmasse m . Wenn Sie Ihre multiplizieren v 2 = − G M r durch m , können Sie erhalten, dass die kinetische Energie der Teilchen 1/2 der potentiellen Energie ist U . Für einen gebundenen Zustand ist es in Ordnung. Siehe Virialsatz .

Ist das Gravitationspotential eines Planeten im Orbit immer gleich minus dem Quadrat der Geschwindigkeit?
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