Wenn wir einen Baseball von der ISS werfen, könnten wir den Ball aus der Umlaufbahn bringen?

Du musst den Ball nicht werfen!

In der Höhe der ISS ist die Atmosphäre so dick, dass sie jeden Tag 50-100 m Höhe durch den Luftwiderstand verliert. Bei dieser Rate würde die ISS über einen Zeitraum von zehn Jahren 180 bis 360 km verlieren. Berücksichtigt man den erhöhten Luftwiderstand in niedrigeren Höhen, reichen zehn Jahre aus, um den Absturz der ISS zu einem feurigen Ende zu bringen.

Also einfach den Ball in die Tasche stecken und warten.

Eigentlich ist das auch gut so, denn die Umlaufgeschwindigkeit der ISS liegt etwas über 17000 Meilen pro Stunde und die Rekordgeschwindigkeit für das Werfen eines Baseballs (nicht im Raumanzug!) liegt nur eine Nuance über 100 Meilen pro Stunde.

John Rennie gab bereits die praktische Antwort in Anbetracht der Atmosphäre und stellte fest, dass Objekte in der Nähe der ISS ohne etwas zu tun schnell aus der Umlaufbahn kommen werden. Aber das lässt die Realität einem guten Physikproblem im Wege stehen. Ich werde zeigen, dass ein Mensch zwar keinen Ball in einer Umlaufbahn auf die Oberfläche krachen lassen kann, aber nahe kommen kann.

Die ISS wird mit einer typischen Umlaufgeschwindigkeit von aufgeführt$v = 7.66\times10^3\ \mathrm{m/s}$. Für ein Testteilchen im Orbit um die Erde Gravitationsparameter $GM_\oplus = 3.98\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}$, eine kreisförmige Umlaufbahn (die wir aus Gründen der Konkretheit und Einfachheit annehmen) hat eine große Halbachse (dh einen Radius) von

$$a_0 = \frac{GM_\oplus}{v^2} = 6.79\times10^6\ \mathrm{m}.$$ Es wird eine spezifische Energie von haben $\epsilon_0 = -GM_\oplus/2a_0 = -v^2/2$, und einen spezifischen Drehimpuls von $h_0 = a_0v$.

Ihr erster Instinkt ¹ könnte sein, den Ball mit Geschwindigkeit nach unten zu werfen$\Delta v$. Dadurch wird die Geschwindigkeit senkrecht zur aktuellen Geschwindigkeit hinzugefügt, sodass die Energieänderung einfach ist:$\epsilon_\mathrm{down} = \epsilon_0 + \Delta\epsilon_\mathrm{down}$,$\Delta\epsilon_\mathrm{down} = (\Delta v)^2/2$. Da die hinzugefügte Geschwindigkeit in radialer Richtung verläuft, ändert sich der Drehimpuls nicht:$h_\mathrm{down} = h_0$.

Gegeben$\epsilon$und$h$, können wir das entsprechende berechnen$a$und$e$(Exzentrizität) gem

$$a = -\frac{GM_\oplus}{2\epsilon}, \qquad e = \sqrt{1-\frac{h^2}{GM_\oplus a}}.$$ Von dort aus ist es einfach, das Perigäum entsprechend zu finden $$r_\mathrm{per} = (1-e) a.$$ Einstecken von Zahlen für $\Delta v = 100\ \mathrm{mph} = 44.7\ \mathrm{m/s}$, das erwischt uns $$r_\mathrm{per,down} = 6.75\times10^{6}\ \mathrm{m}.$$

Sie können es jedoch besser machen, indem Sie direkt nach hinten werfen. Dies ist der effizienteste Weg, um das Perigäum zu senken. In diesem Fall ist die neue spezifische kinetische Energie$k_\mathrm{back} = (v-\Delta v)^2/2$, was bedeutet, dass sich die Energie um ändert$\Delta\epsilon_\mathrm{back} = k_\mathrm{back} - v^2/2$. Auch der Drehimpuls ändert sich in diesem Fall:$h_\mathrm{back} = a_0 (v-\Delta v)$. Das Einstecken von Zahlen bringt uns

$$r_\mathrm{per,back} = 6.64\times10^6\ \mathrm{m}.$$

Nun stellt sich heraus, dass der höchste Punkt der Erde der Chimborazo ist , mit einer Erhebung über dem Erdmittelpunkt$r = 6.38\times10^6\ \mathrm{m}$. Somit konnte man den Ball nicht zwingen, irgendeinen Teil der Erde mit Geschwindigkeit zu treffen. Der Effekt ist jedoch nicht zu vernachlässigen. Betrachten wir die Werte von$r_\mathrm{per}/r$, begannen wir bei$1.064$und kam zu einem von beiden$1.059$(hinwerfen) oder$1.040$(wirft nach hinten).

Wie weit in die Atmosphäre gelangt man durch Rückwärtswerfen? Laut diesem Tool für das Atmosphärenmodell NRLSISE-00 geht die Dichte der Atmosphäre von einer Höhe von$415\ \mathrm{km}$zu$259\ \mathrm{km}$erhöht sich um einen Faktor von ca$30$. Somit kann der Widerstand, den die ISS erfährt, mit nur einer kleinen Änderung der Umlaufbahn erheblich erhöht werden.

Wie schnell müssten Sie den Ball werfen, um ihn ohne Atmosphäre zu verlassen? Wenn wir rückwärts werfen, unsere alten$a = a_0$wird unser neuer Höhepunkt sein. Wir möchten, dass unser neues Perigäum die Höhe ist$r$. Lösen$r_\mathrm{apo,per} = (1 \pm e) a$zum$a$sagt uns, wir wollen eine neue große Halbachse von$a = (a_0+r)/2$. Rückwärts durch$\epsilon = -GM_\oplus/2a$dies sagt uns, was die neue Energie ist und wie groß die Geschwindigkeitsänderung sein muss (da wir die kinetische Energie nur mit einem momentanen Impuls ändern können). Die Antwort ist$120.\ \mathrm{m/s} = 268\ \mathrm{mph}$. Diese relativ kleine Zahl im Vergleich zur Umlaufgeschwindigkeit spiegelt wider, wie nahe die erdnahe Umlaufbahn im Vergleich zum Erdradius an der Oberfläche liegt.

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_{¹ Es sei denn, Sie haben Kerbal Space Program gespielt.}

In praktischer Hinsicht gab es vor einigen Jahren einen Weltraumspaziergang, als sie eine defekte Ammoniakpumpe von der Größe eines Kühlschranks ersetzten. Der Astronaut drückte es einfach schnell von der Station weg und wusste, dass es bald schnell genug aus der Umlaufbahn kommen würde, um keine Kollisionsgefahr mehr darzustellen.

PS: Wenn Sie Kerbal Space Program haben, wäre es eine lustige Sache, dies zu testen.