Ein Planet mit einer quadratischen Umlaufbahn?

Betrachten wir, welche Kräfte für eine quadratische Umlaufbahn benötigt werden. Wie Newton betonte, bewegt es sich in einer geraden Linie, solange es keine Kräfte gibt ... also darf es keine Schwerkraft an den Seiten geben. Dann dreht sich der Mond plötzlich um 90 Grad, was eine große Kraft bedeutet, ihn zu beschleunigen. Es muss also eine enorme Kraft nur in der Nähe der Ecken und nicht an den Seiten wirken.

Dies ist mit echter Schwerkraft umständlich zu erreichen. Die Gravitationskraft ist eine zentrale Kraft: Jedes Teilchen mit Masse übt a aus$GMm/r^2$darauf gerichtete Kraft, und Sie können sich nicht davor schützen, indem Sie Massen davor stellen: Alle Beiträge von Teilchen mit unterschiedlicher Masse summieren sich. Sie können also nicht nur die Schwerkraft haben, die die Flugbahn an der Ecke um 90 Grad biegt, da die Schwerkraft von dort auch die Flugbahn entlang der Kante beeinflusst.

Eine allgemeine Sache ist, dass eine komplexe Form eines Planeten ein Gravitationsfeld erzeugt, das durch sphärische Harmonische ausgedrückt werden kann . Diese neigen dazu, mit der Entfernung schnell zu zerfallen, wenn sie hochfrequent/scharf sind ("höhere Ordnung"): seltsame Planetenformen wirken sich nur auf sehr nahe Umlaufbahnen aus.

Ein Vier-Planeten-Trick

Wenn Sie vier fixpunktartige "Planeten" in einem Quadrat berücksichtigen, kann man meiner Meinung nach beweisen, dass eine nahezu quadratische Umlaufbahn existiert. Denken Sie an den Mond, der sich einem von ihnen nähert, mit dem Aufprallparameter$b$(wie weit vom geraden Kollisionskurs entfernt es beginnt) eine freie Variable. Wenn$b$zu groß ist, biegt sich die Flugbahn nur leicht und streicht vorbei. Wenn$b$zu klein ist, erhalten Sie mehr als eine 90-Grad-Drehung. Durch Kontinuität gibt es einige$b$das ergibt eine exakte 90 Grad Wendung. Das bedeutet aufgrund der Energieeinsparung, dass es sich mit genau der gleichen Geschwindigkeit bewegt, mit der es begonnen hat, wenn es sich weit vom Planeten entfernt. Wir können also arrangieren, dass es dasselbe mit den nächsten, nächsten und nächsten Planeten macht und zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Das Ergebnis ist eine Umlaufbahn, die einem geglätteten Quadrat gleicht. Aber es ist nicht so sehr eine Umlaufbahn um einen Planeten.

Oben gibt es eine Subtilität: Der Einfluss der anderen drei Massepunkte wird an allen Stellen zu spüren sein, also wird die Gravitationsbiegung nicht die perfekte 2-Körper-Begegnung sein, von der ich annehme. Innerhalb der Hill-Sphäredes Planeten dominiert seine Schwerkraft über alle anderen und die 2-Körper-Dynamik ist eine gute Annäherung. Der Nachweis der Existenz der geschlossenen Umlaufbahn erfordert jedoch mehr. Glücklicherweise ist dies eine kontinuierliche Situation: Wenn wir die Startpunkte des Mondes danach färben, wie nahe sie dem zweiten Planeten bei größter Annäherung kommen, wird es einen Punkt geben, der die richtige Entfernung erreicht, um eine perfekte 90-Grad-Drehung zu machen. Wenn wir in der Nähe dieses Punktes stattdessen nach Entfernung zum dritten Planeten färben, gibt es einen optimalen Punkt, der drei Drehungen um fast 90 Grad verursacht. Mit der gleichen Methode für den letzten Planeten und den Startpunkt kann man sich meiner Meinung nach davon überzeugen, dass eine solche Umlaufbahn existieren muss. Die Dinge sind etwas kniffliger, da wir dasselbe auch für Geschwindigkeitsänderungen tun sollten: Wir wollen einen festen Punkt der Abbildung finden$f:(x_{start},v_{start})\rightarrow (x_{end},v_{end})$von den Planeten geschaffen, so dass$f(x,v)=f(x,v)$(technisch gesehen, das Finden eines festen Punktes der Poincare-Karte ). Dies analytisch zu tun, ist wahrscheinlich ein Alptraum, aber man kann Softwareoptimierungsmethoden verwenden.

Mein obiges Diagramm wurde erstellt, indem ich mit einem Bereich von manuell ausgewählten Anfangswerten begann, die eine Trajektorie fand, die ihrem Anfangszustand am nächsten kam (in Bezug auf Position und Geschwindigkeit), darauf zoomte, um noch bessere Anfangswerte zu finden, und so An.

Wenn Sie nur möchten, dass ein Körper relativ zum Baryzentrum eines übergeordneten Systems einen stabilen quadratischen Pfad hat, kann dies leicht mit einer retrograden Umlaufbahn erreicht werden. Illustration des Konzepts:

Ich habe dies als Planet in einem Doppelsternsystem gezeichnet, aber es muss nicht unbedingt sein - Seien Sie gewarnt, dass der Körper, den der grüne Planet oder Mond umkreist, groß genug sein muss, um eine ausreichende Masse und einen ausreichenden Einflussbereich zu haben Fangen Sie den grünen Planeten jedoch in einer angemessenen Umlaufbahnentfernung und -periode ein.

Führen Sie eine Fourier-Transformation oder ähnliches durch, um die benötigten Orbitalparameter zu erhalten, und lösen Sie dann nach der Masse jedes Körpers.

Tatsächlich können Sie möglicherweise sogar erheblich kompliziertere stabile Umlaufbahnen erstellen als ein einfaches Quadrat:

Die Umlaufbahn von Homer Simpson: Eine unterhaltsame Anwendung der Diskreten Fourier-Transformation

(Aufgrund der Einschränkungen bei Masse und SOI/Hill Sphere wird nicht alles möglich sein. Aber es gibt Potenzial.)

Also ... Um es wie in der Frage zu formulieren: Sie können nicht wirklich eine einzelne Form haben, die eine quadratische Umlaufbahn für einen Mond um ihn herum erzeugt, aber Sie können wahrscheinlich ein einfaches Umlaufsystem haben, bei dem ein Mond so hinzugefügt werden kann, dass dies der Fall ist eine quadratische Bahn nehmen.

UPDATE: Der erforderliche Radius und Zeitraum ist möglicherweise nicht sehr stabil oder am Rande der Stabilität. Siehe die Kommentare von @rob.

Das erste, was zu betrachten wäre die Geschwindigkeit. Eine Geschwindigkeit ungleich Null würde eine glatte Umlaufbahn implizieren; Daher müsste Ihr Mond langsamer werden, um an der Ecke vollständig anzuhalten, bevor er in eine orthogonale Richtung beschleunigt.

Die zweite Sache, die man sich ansehen sollte, wäre die Beschleunigung. Wenn sich der Mond beispielsweise der oberen rechten Ecke nähert, sollte die Beschleunigung nach unten gerichtet sein, um ihn von der streng vertikalen Geschwindigkeit vor der Ecke bis zum vollständigen Stopp zu verlangsamen. Und direkt nach der oberen rechten Ecke muss die Beschleunigung horizontal sein, um den Mond streng horizontal zu beschleunigen.

Darüber hinaus kann die Beschleunigung an der Ecke nicht Null sein: Newtons Gesetz ist 2. Grad, wenn also ein Objekt eine Geschwindigkeit und Beschleunigung von Null hat, geht es nirgendwo hin. Die Beschleunigung des Mondes ist also an der Ecke diskontinuierlich, von einer Vertikalen ungleich Null zu einer Horizontalen ungleich Null.

Die nächste Frage ist, kann die durch die Newtonsche Gravitation verursachte Beschleunigung diskontinuierlich sein? Nun, wenn Ihr Planet X eine endliche Dichte hat, dann sicherlich nein. Wenn Ihre Anordnung keine Singularitäten unendlicher Dichte enthält, die an den Ecken der Umlaufbahn des Mondes platziert sind, lautet die Antwort immer noch nein, da das Laplace-Potential außerhalb der Singularitäten eine glatte lokale Lösung hätte.

Eine scharfe Ecke zeigt eine unendliche Krümmung an, also müsste das Verhältnis der Beschleunigung zur Geschwindigkeit unendlich sein, was impliziert, dass die Geschwindigkeit Null ist. Abgesehen von der Instabilität dieser Anforderung bedeutet dies, dass bei Annäherung an eine Ecke eine Beschleunigung von dieser Ecke weg erfolgen muss (dh die Geschwindigkeit nimmt ab, sodass der Beschleunigungsvektor dem Geschwindigkeitsvektor entgegengesetzt ist). Dies würde jedoch bedeuten, dass die Nettokraft tangential zu ihrem Verschiebungsvektor relativ zum Planeten ist, die Schwerkraft jedoch immer in derselben Richtung wie der Verschiebungsvektor ist.

Ich glaube nicht, dass es eine Möglichkeit gibt, dies zu tun, ohne dass Körper außerhalb der Umlaufbahn eine Kraft liefern. Wenn sich die Körper jedoch außerhalb der Umlaufbahn befinden, würde die Kraft vermutlich zunehmen, wenn sich das Objekt vom Zentrum der Umlaufbahn entfernt. Dies widerspricht der Notwendigkeit, dass die Kraft, die das Objekt von der Ecke wegdrückt, auf Null geht, wenn es die Ecke erreicht.

Und natürlich würde jedes planetengroße Objekt mit der von Ihnen dargestellten Form schnell unter seiner eigenen Schwerkraft zusammenbrechen; Die Kraft in den Ecken wäre enorm.

Ich werfe hier nur Ideen raus, aber was ist damit:

Wenn Ihr Planet wie eine Hülle mit ausreichend hoher Masse aussieht, dann haben wir, dass innerhalb der Hülle keine Schwerkraft und außerhalb eine hohe Schwerkraft herrscht. In der Region ohne Schwerkraft ist die Bahn des Mondes gerade, was es ihm ermöglichen würde, ein schönes Quadrat zu bilden. Wenn wir ein paar Löcher in Ihren Planeten schlagen, könnte der Mond gelegentlich nach draußen schauen, wo die hohe Schwerkraft bewirkt, dass sein Weg nach innen umgelenkt wird.

Leider ist eine solche Umlaufbahn nicht möglich. Betrachten Sie Newtons zweites Gesetz:$\vec F = m \mathbf{\vec a}$. Entlang der Seite des Quadrats die Beschleunigung$\mathbf{\vec a}$ist ein Vektor, der in Richtung der Umlaufbahn zeigt, aber die Kraft muss irgendwo in Richtung des Planeten zeigen, also kann es keine Gleichheit geben.

In Wirklichkeit können Sie keinen stacheligen Planeten haben, wie Sie ihn gezeichnet haben. Die Gipfel werden unter der Schwerkraft des Planeten zusammenbrechen. Und es gibt keine bekannte Möglichkeit, dass ein „Vier-Planeten-Trick“, wie er von Anders Sandberg beschrieben wurde, in der Realität stabil bleiben könnte. Die Form eines Planeten kann nur einen sehr geringen Einfluss auf die Umlaufbahn seiner Satelliten haben. Die Ausbuchtung am Erdäquator (die durch die Zentrifugalwirkung der Erdrotation verursacht wird) beeinflusst jedoch die Präzession der Umlaufbahnen einiger künstlicher Satelliten. Dies wird vorteilhaft im " sonnensynchronen " Orbit genutzt, wo die polare Umlaufbahn eines künstlichen Satelliten einmal im Jahr präzediert.

Es gibt jedoch fünf „ Lagrange-Punkte “, die zusammen mit einem Planeten um seinen Stern kreisen, wobei die Gravitation von Planet und Stern gleichermaßen Einfluss hat. Dies ermöglicht es einem Objekt, den Planeten zu umkreisen, während es von ihm entfernt ist. Drei davon, L1 L2 L3, stehen in einer Linie mit dem Planeten und dem Stern. Künstliche Satelliten wurden in solche Umlaufbahnen gebracht, müssen aber stationär gehalten werden, da sie instabil sind. Die anderen beiden, L4 und L5, führen und hinken dem Planeten um 60 Grad vor und Objekte können in diesen stabil bleiben. Es gibt also zwei Gruppen von Asteroiden, die „Griechen“ und die „Trojaner“, die Jupiter auf seiner Umlaufbahn um die Sonne vor- und nacheilen. Diese Asteroiden "libratieren" um die Lagrange-Punkte.

Dann gibt es noch die „ Hildas “, eine Gruppe von Asteroiden, die in der Zeit, in der Jupiter zweimal umkreist, die Sonne dreimal umkreisen. Die Bahnen dieser Asteroiden sind wirklich elliptisch. Aber aus der Sicht eines Beobachters bei Jupiter scheinen sie eine dreieckige Bahn zu durchlaufen, einmal für alle 2 Umlaufbahnen, die Jupiter um die Sonne macht. Die Umlaufbahnen bleiben synchron, während die Asteroiden mit den drei Sonne-Jupiter-Lagrange-Punkten L3, L4, L5 interagieren, die jeweils 120 Grad voneinander entfernt sind.

Im Prinzip könnte ein künstlicher Satellit in einer 2:3-Resonanz zwischen Erde und Mond platziert werden. Für einen Beobachter auf dem Mond scheint es, als würde er einem dreieckigen Pfad folgen.

Sie können definitiv ein System mit jeder Umlaufbahnform haben. Versuchen Sie, Ihr Sonnensystem mit quadratischer Umlaufbahn als einen Planeten zu entwerfen, der einen Doppelstern umkreist. Wen interessiert schon die Stabilität. Die meisten nicht-elliptischen Umlaufbahnen werden wahrscheinlich inzwischen instabil, aber das bedeutet nicht, dass nicht alle Arten von Umlaufbahnen ihren Tag haben. Alles ist möglich. Kreisbahnen sind nur üblich, weil sie stabil sind. Die anderen Formen würden leichter zerstört werden.