Intuitive Erklärung

Angenommen, Sie bohren zwei , senkrechte Löcher durch den Mittelpunkt der Erde. Sie lassen ein Objekt durch das eine fallen und dann ein Objekt durch das andere, genau zu dem Zeitpunkt, an dem das erste Objekt durch die Mitte geht.

Was Sie jetzt haben, sind zwei Objekte, die in nur einer Dimension oszillieren, aber sie tun dies in Quadratur. Das heißt, wenn wir die Höhe jedes Objekts aufzeichnen würden, wäre man so etwas wie$\sin(t)$und der andere wäre$\cos(t)$.

Betrachten Sie nun die Bewegung einer kreisförmigen Umlaufbahn, aber denken Sie separat an die Links-Rechts-Bewegung und die Auf-Ab-Bewegung. Sie werden sehen, dass es dasselbe tut wie Ihre beiden Objekte, die durch den Mittelpunkt der Erde fallen, aber es tut sie gleichzeitig.

Bildquelle

Vorbehalt: Eine wichtige Annahme hier ist eine Erde mit gleichmäßiger Dichte und perfekter Kugelsymmetrie und einer reibungslosen Umlaufbahn direkt an der Oberfläche. Natürlich sind all diese Dinge erhebliche Abweichungen von der Realität.

Mathematischer Beweis

Betrachten wir nur die vertikale Beschleunigung von zwei Punkten, einen innerhalb des Planeten und einen anderen auf der Oberfläche, in gleichem vertikalen Abstand ($h$) vom Zentrum des Planeten:

• $R$ist der Radius des Planeten
• $g$ist die Erdbeschleunigung an der Oberfläche
• $a_p$und$a_q$sind nur die vertikalen Komponenten der Beschleunigung an jedem Punkt

Wenn wir zeigen können, dass diese vertikalen Beschleunigungen gleich sind, dann zeigen wir, dass die unterschiedlichen horizontalen Positionen keine Bedeutung für die vertikale Bewegung der Punkte haben. Dann können wir uns frei machen, unabhängig voneinander an vertikale und horizontale Bewegung zu denken, wie in der intuitiven Erklärung.

Berechnung$a_q$ist einfache Trigonometrie. Es ist an der Oberfläche, also muss die Größe seiner Beschleunigung so sein$g$. Nur die vertikale Komponente ist einfach:

Wenn Sie das Problem „ein Objekt durch einen Tunnel in die Erde fallen lassen“ durchgearbeitet haben , dann wissen Sie das im Fall von bereits$p$, seine Beschleunigung nimmt linear mit der Entfernung vom Mittelpunkt des Planeten ab (deshalb ist die Annahme der "einheitlichen Dichte" wichtig):

$h$ist für unsere beiden Punkte gleich, und es zu finden, ist wieder einfache Trigonometrie:

So:

QED

Dies gibt auch einen Einblick in eine unglückliche Folge: Diese Methode kann nur auf Umlaufbahnen auf oder innerhalb der Oberfläche des Planeten angewendet werden. Außerhalb des Planeten,$p$erfährt keine Beschleunigung mehr proportional zum Abstand vom Massenmittelpunkt ($a_p \propto h$), sondern proportional zum inversen Quadrat der Entfernung ($a_p \propto 1/h^2$), nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz .

Phils Antwort ist zwar wunderschön illustriert, aber etwas unvollständig. Es stützt sich auf die Tatsache, dass Sie im Fall des Tunnels die eindimensionale Projektion des Satelliten im erdnahen Orbit lösen, beweist dies aber nicht. Ich mache das unten. Die auf das Objekt ausgeübte Kraft ist für eine Kugel gleichförmiger Dichte tatsächlich:

Wo$k = \frac{mg}{R_{earth}}$. Dies ist äquivalent zu einem Federproblem, dessen Lösung tatsächlich sinusförmig mit der Periode sein wird$2 \pi \sqrt{\frac{R_{earth}}{g}}$, das gleiche wie eine niedrige Erdumlaufperiode. Obwohl Phils Antwort dies illustriert, beweist sie es nicht wirklich. Insbesondere lässt es die entscheidende Tatsache außer Acht, dass dies nur für eine Kugel gleicher Dichte gilt .

Eine alternative Erklärung (die wirklich mit der Antwort von @Phil identisch ist): Gemäß den Kepler-Gesetzen ist eine Umlaufbahn eine Ellipse, und die Umlaufzeit ist proportional zur großen Halbachse der Ellipse.

Ein Satellit in der niedrigsten Umlaufbahn wird versuchen, einer speziellen Art von Ellipse (nämlich einem Kreis) zu folgen, deren große Halbachse tatsächlich der Erdradius ist (dies ist die „niedrigste Umlaufbahn“, weil der Satellit den Boden streift – wir ignorieren das die Atmosphäre hier).

Die Schwingung in dem Loch ist wirklich eine andere Umlaufbahn – es ist eine degenerierte Ellipse, die zu einer Linie abgeflacht wurde. Dennoch ist seine große Halbachse immer noch der Erdradius.

Gleiche große Halbachse, daher gleiche Periode.

Bearbeiten: Wie bereits erwähnt, ist diese Erweiterung in zweierlei Hinsicht falsch:

• Der degenerierte Fall für eine "abgeflachte" Ellipse wäre ein halber Durchmesser. Wenn das gesamte Gewicht der Erde in ihrem Zentrum konzentriert wäre, wäre die Umlaufbahn ausgehend von der "Boden"-Ebene (etwa 6300 km vom Zentrum entfernt) mit (fast) keiner seitlichen Geschwindigkeit ein beschleunigter Fall in Richtung des Zentrums; In der Nähe des Zentrums verfehlte das Objekt es "nur um Zentimeter" und rannte schnell darum herum, bevor es in Bodennähe zurück zur Ausgangsposition beschleunigte. Darüber hinaus hätte diese "abgeflachte Ellipse" eine große Halbachse mit einer Länge von etwa 3150 km (halber Radius) für einen Zeitraum, der achtmal kleiner wäre als die niedrige Umlaufbahn.

• Das Erdgewicht ist nicht in seinem Zentrum konzentriert. Tatsächlich erhalten Sie eine "Oszillator"-Trajektorie, die es Ihnen ermöglicht, in Neuseeland aufzutauchen, wenn Sie von England aus starten, gerade weil das Modell "Erdmasse an einem einzigen Punkt" nicht das ist, das in diesem Gedankenexperiment verwendet wird.

Während es verständlich ist, dass die niedrige Umlaufbahn und der Oszillator mit Perioden gleicher Größe enden (beide sind eine Art "freier Fall" gegen eine Erde mit demselben Gewicht und beginnend in Bodenhöhe), würde diese handwinkende Bemerkung dies tun gleichermaßen mit einer Oszillatorperiode anwendbar, die doppelt oder halb so groß ist wie die des niedrigen Orbits. Sie scheinen ziemlich nahe beieinander zu liegen, und ich habe jetzt keine Ahnung, ob dies nur Zufall oder ein grundlegender Grund ist.

Meine Frage ist: Warum sind diese beiden Perioden (die durch die Erde und einen LEO schwingen) gleich? Ich bin sicher, dass es einen grundlegenden physikalischen Grund gibt, den ich hier übersehe. Hilfe.

Es ist ein Ergebnis der (fehlerhaften) Annahme einer Erde mit einheitlicher Dichte. Die Erde ist alles andere als ein Objekt mit konstanter Dichte. Der Erdkern ist fünfmal dichter als Oberflächengestein. An der Kern-Mantel-Grenze, also etwas weniger als auf halber Strecke zum Erdmittelpunkt, erreicht die Gravitationsbeschleunigung ein Maximum von über 10 m/s ^{2 .} Ein Modell mit einheitlicher Dichte impliziert, dass die Gravitationsbeschleunigung in dieser Tiefe etwa die Hälfte des Oberflächenwerts beträgt.

Ein besseres Modell der Erde geht davon aus, dass die Erdbeschleunigung konstant 10 m/s ² von der Oberfläche bis zur Hälfte des Erdmittelpunkts beträgt und dann im Erdmittelpunkt linear auf Null abfällt. Dies ergibt eine Periode von 76,41 Minuten anstelle der 84,3 Minuten einer Umlaufbahn von 6371 km (offensichtlich ohne Luftwiderstand).

Ein noch besseres Modell ist die Verwendung numerischer Integration mit dem Preliminary Reference Earth Model ( A. Dziewonski und D. Anderson (1981), „Preliminary reference Earth model“, Physics of the earth and planetary interiors 25:4, 297-356. ( tabellarische Daten unter http://geophysics.ou.edu/solid_earth/prem.html )). Daraus ergibt sich ein Zeitraum von 76,38 Minuten, der dem oben beschriebenen einfachen Modell sehr nahe kommt.

Phil Frosts Argument in seiner Antwort (v4) ist richtig. Annahme einer kugelförmigen Erde mit konstanter Dichte$\rho$(und der Einfachheit halber davon ausgegangen, dass sich das Objekt aus irgendeinem Grund frei bewegen kann$^1$durch die Erde, so dass es keinen Luftwiderstand gibt und damit wir alle Tunnelbohrungen überspringen können und uns keine Sorgen darüber machen müssen, dass die Erdrotation das Objekt gegen die Tunnelwand drücken könnte; und unter der Annahme, dass wir das Earth-Centered Inertial ( ECI ) Koordinatensystem verwenden, so dass es keine fiktiven Kräfte gibt; usw.), dann ist die maßgebende 3D - vektorwertige ODE (abgeleitet von Newtons Gesetzen ) .

Diese ODE (1) trennt in drei unabhängige SHO s für die$x$,$y$und$z$Koordinaten mit gemeinsamer charakteristischer Periode

Insbesondere für eine beliebige Trajektorie mit$|{\bf r}|\leq R$(= Radius der Erdkugel) ist die Periode unabhängig von Anfangsposition und Anfangsgeschwindigkeit.

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$^1$Genauer: sich frei abseits der Schwerkraft bewegen.