Übertragung von potentieller Gravitationsenergie (GPE) zu kinetischer Energie (KE) in Satellitenumlaufbahnen

Hinweise:

1. Aufgrund des Abbrennens des/der Raketentriebwerk(e) des Satelliten gibt es keine mechanische Energieerhaltung zwischen den anfänglichen und abschließenden periodischen Umlaufbahnen.

2. Verwenden Sie zB den Virialsatz , der besagt, dass die (zeitlich gemittelte) kinetische Energie minus die Hälfte der (zeitlich gemittelten) potentiellen Energie in einer periodischen Umlaufbahn ist.

Die Gleichung, die Sie präsentieren, ist für einen Satelliten in einer elliptischen Umlaufbahn korrekt, während die Antwort aus früheren Untersuchungen sicherlich den KE kreisförmiger Umlaufbahnen mit unterschiedlichen Radien vergleicht:

Im Fall einer elliptischen Umlaufbahn variiert der Radius zu jedem Zeitpunkt (da sich der zentrale Körper im Brennpunkt der Ellipse befindet und die Flugbahn eine Ellipse ist), aber die mechanische Gesamtenergie ist konstant und gegeben durch

$E = KE + GPE = \frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r} = constant$.

Beachten Sie, dass die potenzielle Energie negativ ist, aber dennoch mit der Höhe zunimmt. Vergleichen Sie also KE in derselben Umlaufbahn zu verschiedenen Zeitpunkten, wenn sich der Satellit an verschiedenen Positionen (und somit verschiedenen Entfernungen) befindet$r_1$Und$r_2$aus dem Fokus) führt nur zu dem von Ihnen präsentierten Ausdruck; im Anfangsabstand$r_1$und Endstrecke$r_2$, Energieerhaltung ergibt sich zu:

$E=constant = \frac{1}{2}mv_1^2-\frac{GMm}{r_1}=KE_1 + GPE_1 = KE_2+GPE_2=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{GMm}{r_2}$

und so

$\Delta KE=KE_2-KE_1=-\Delta GPE=GPE_1-GPE_2=GMm(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})$.

Anders verhält es sich beim Vergleich verschiedener Kreisbahnen. Für jede Kreisbahn variieren KE und GPE nicht. Bei kreisförmigen Bahnen ist die Trägheitskraft nur zentripetal, und wenn man sie mit der Gravitationskraft gleichsetzt, ergibt sich, dass die Geschwindigkeit einfach gegeben ist durch

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$(nur Kreisbahnen).

Also für zwei Umlaufbahnen mit unterschiedlichem Radius$r_1$Und$r_2$(und verschiedenen Gesamtenergien) haben wir:

$KE_1=\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}m(\sqrt{\frac{GM}{r_1}})^2$Und$KE_2=\frac{1}{2}mv_2^2=\frac{1}{2}m(\sqrt{\frac{GM}{r_2}})^2$

und schlussendlich

$\Delta KE=KE_2-KE_1=\frac{1}{2}GMm(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1})$

Das ist die "halbe" Antwort, die Sie erwähnt haben. Beachten Sie auch das unterschiedliche Vorzeichen der Antwort im Vergleich zu dem Fall einer einzelnen elliptischen Umlaufbahn.

Sie haben Recht, dass der Unterschied in der potentiellen Gravitationsenergie in eine Zunahme der kinetischen Energie umgewandelt wird. Allerdings haben Sie die Gravitationsdifferenz falsch berechnet, da Sie sie voneinander subtrahieren sollten und nicht ihre Radien. Es könnte auch hilfreich sein, wenn Sie sich die spezifische Orbitalenergie ansehen . Beachten Sie auch, dass der spezifische relative Drehimpuls erhalten bleibt.

Für einen Satelliten in einer ungestörten Umlaufbahn entspricht die Änderung der potenziellen Gravitationsenergie der Änderung der kinetischen Energie.

Die Vergrößerung einer kreisförmigen Umlaufbahn erfordert Energie. Die Hälfte der Energie wird zum Anheben des Satelliten verwendet, während die andere Hälfte zum Beschleunigen des Satelliten verwendet wird.

Bei einem Satelliten in einer kreisförmigen Umlaufbahn, der durch atmosphärischen Luftwiderstand gestört wird, erwärmt die Reibung den Satelliten und die Atmosphäre und verringert den Umlaufradius. Durch die Verringerung des Radius einer Umlaufbahn wird potenzielle Gravitationsenergie freigesetzt. Die Hälfte der freigesetzten Energie wird zur Beschleunigung des Satelliten verwendet, die andere Hälfte geht als Wärme verloren.