Orbitale Bewegungsgleichungen in Bezug auf Energie

Betrachten Sie die Bewegungsgleichungen eines Objekts in einer Umlaufbahn um einen zentralen Körper. Wir verwenden einen Trägheitsrahmen, der vom Massenmittelpunkt des Zentralkörpers ausgeht:

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \mathbf{V} \tag{1}$$ $$\frac{d\mathbf{V}}{dt} = -\frac{\mu}{r^3}\mathbf{r} + \mathbf{A}_\text{ext} \tag{2}$$ Wo $\mathbf{r}$ist der Positionsvektor des Objekts, $\mathbf{V}$ist die Geschwindigkeit, $\mu$ist der Gravitationsparameter des Zentralkörpers und $\mathbf{A}_\text{ext}$sind Beschleunigungen aufgrund einiger anderer Quellen (z. B. Schub von Triebwerken, Luftwiderstand usw.).

Ich interessiere mich dafür, diese in Bezug auf die spezifische Orbitalenergie zu spezifizieren$\epsilon$. Dazu muss ich es wissen$\dfrac{d\epsilon}{dt}$

ich weiß, dass

$$\epsilon = \frac{V^2}{2}-\frac{\mu}{r} \tag{3}$$ Also differenzieren: $$\frac{d\epsilon}{dt} = V\dfrac{dV}{dt}+\dfrac{\mu}{r^2}\dfrac{dr}{dt} \tag{4}$$

Wenn wir Gleichung (2) mit multiplizieren$\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}$, wir bekommen:

$$\dfrac{d\mathbf{r}}{dt} \cdot \frac{d\mathbf{V}}{dt} = - \dfrac{d\mathbf{r}}{dt} \cdot \frac{\mu}{r^3}\mathbf{r} + \dfrac{d\mathbf{r}}{dt} \cdot \mathbf{A}_\text{ext} \tag{5}$$

Um es neu zu ordnen,

$$\mathbf{V} \cdot \frac{d\mathbf{V}}{dt} + \dfrac{d\mathbf{r}}{dt} \cdot \frac{\mu}{r^3}\mathbf{r} = \mathbf{V} \cdot \mathbf{A}_\text{ext} \tag{6}$$

Ich stecke hier fest.$\epsilon$ist ein Scaler, ebenso wie seine Ableitung. Es scheint jedoch, dass die linke Seite der Gleichung 6 die Vektorform von Gleichung 4 ist.

Können Sie mir helfen, fortzufahren? Wenn ich das obige habe, dann könnte ich die Bewegungsgleichungen formulieren. Oder, wenn Sie bereits die Bewegungsgleichungen in Bezug auf Energie kennen, wäre das großartig!

Der Wikipedia-Artikel über spezifische Orbitalenergie besagt dies$\dfrac{d\epsilon}{dt} = \mathbf{V}\cdot \mathbf{A}_\text{ext}$aber gibt keine Referenz / Schritte.

https://en.wikipedia.org/wiki/Specific_orbital_energy#Applying_thrust