Klärung der Verwirrung über die Orbitalmechanik

Question

Klärung der Verwirrung über die Orbitalmechanik

Matheliebhaber

Wenn ich ein Problem der Orbitalmechanik sehe, erinnere ich mich an die folgenden Dinge aus meiner "Werkzeugkiste":

Für einen Körper, der einen Planeten umkreist, bleibt der Drehimpuls erhalten, da das Drehmoment aufgrund der Schwerkraft 0 ist.
Kinetische Energie und potentielle Gravitationsenergie summieren sich zu einer Erhaltungsgröße. Für eine elliptische Umlaufbahn ist diese Größe die Hälfte des Potentials an der großen Halbachse einer elliptischen Umlaufbahn.
Wenn die Geschwindigkeit senkrecht zum Momentarm des Körpers in Bezug auf den Planeten ist, kann die Zentripetalbeschleunigung hilfreich sein.

Nun habe ich folgendes Problem:

Ein künstlicher Satellit befindet sich auf einer kreisförmigen Umlaufbahn um den Mond im Radius $R = kr$ , Wo $r$ ist der Radius des Mondes selbst. Ein kurzes Brennen des Motors des Satelliten liefert einen Impuls, der die Geschwindigkeit des Satelliten halbiert, ohne seine Richtung zu ändern, und dies ändert die Umlaufbahn zu einer, die gerade die Mondoberfläche streift. Indem Sie den Drehimpuls und die Energie des Satelliten an der Apoapsis und Periapsis der neuen Umlaufbahn berücksichtigen, leiten Sie den Wert von ab $k$ . Versuchen Sie, den Drehimpuls zu verwenden.

Die Antwort auf das Problem ist anscheinend $k=7$ , Lassen Sie mich also meinen Ansatz für dieses Problem unter Berücksichtigung der einzelnen Tools mitteilen, und vielleicht kann jemand darauf hinweisen, was ich falsch mache.

Beachten Sie zunächst, dass das Manöver den Satelliten in eine elliptische Umlaufbahn mit Apogäum schickt $R$ und Perigäum $r$ , also Hauptachse $R+r$ .

Durch Zentripetalkraftbetrachtungen ist dies die ursprüngliche Geschwindigkeit des Fahrzeugs vor dem Manöver $\sqrt{GM/R}$ so nach dem Manöver ist es $0.5\sqrt{GM/R}$ .

1. Unter Berücksichtigung des Drehimpulses am Apogäum und Perigäum, $m0.5\sqrt{GM/R}R=mv_1r$ .

2. An einem Perigäum ist die Geschwindigkeit gleich der Tangentialgeschwindigkeit (der Momentenarm ist senkrecht zur Bewegung des Fahrzeugs), sodass wir eine Zentripetalbeschleunigung anwenden können, um zu erhalten $v_1=\sqrt{GM/r}$ . Wenn Sie dies mit der Beobachtung in (1) kombinieren, erhalten Sie $R=4r$ , was falsch ist.

Durch Anwendung des Energieerhaltungssatzes $0.5v^2-GM/d=-GM/(R+r)$ . Am Höhepunkt, $d=R$ und aus (1), $v=0.5\sqrt{GM/R}$ . Wenn Sie dies ersetzen, erhalten Sie die richtige Antwort $R=7r$ . Am Perigäum, $d=r$ , und aus (1), $v=0.5\sqrt{GM/R}R/r$ . Wenn Sie dies ersetzen, erhalten Sie etwas in Bezug auf $r$ Und $R$ aber an sich ist es nicht nützlich. (Zumindest stimmt es zu $R=7r$ ).

Die Beobachtung in (2) scheint also falsch zu sein. Aber warum? Auch Drehimpuls war anscheinend nicht notwendig, obwohl die Problemstellung vorschlug, ihn zu verwenden. Was ist also die alternative Lösung unter Verwendung des Drehimpulses?

John Rennie

Die gleichung

v = \sqrt{G M / r}

$v = \sqrt{GM/r}$ gilt nur für eine kreisförmige Umlaufbahn, da sie unter der Annahme abgeleitet wird, dass die Erdbeschleunigung gleich der Beschleunigung zum Zentrum ist. Am Perigäum einer elliptischen Umlaufbahn ist dies nicht der Fall.

Matheliebhaber

@JohnRennie: Es gilt auch für ungleichmäßige Bewegungen, dass die Zentripetalbeschleunigung gilt

v^{2} / r

$v^2/r$ Wo

v

$v$ ist die Tangentialgeschwindigkeit. Am Perigäum "streifen wir nur die Mondoberfläche", sodass die Umlaufbahn die Mondoberfläche tangiert, sodass die Tangentialgeschwindigkeit gleich der Gesamtgeschwindigkeit ist. Was ist falsch an dieser Argumentation?

John Rennie

Ja das stimmt. Aber am Apogäum ist die Zentripetalbeschleunigung nicht gleich der Gravitationsbeschleunigung

G M / r^{2}

$GM/r^2$ . Die gleichung

v = \sqrt{G M / r}

$v = \sqrt{GM/r}$ gilt nur, wenn Zentripetal- und Gravitationsbeschleunigung gleich sind.

Matheliebhaber

Worüber redest du. Die Radialkraft ist immer

v^{2} / r

$v^2/r$ Wo

v

$v$ Tangentialgeschwindigkeit ist. Die Radialkraft wird durch die Schwerkraft bereitgestellt. Da die Tangentialgeschwindigkeit wie oben gleich der Gesamtgeschwindigkeit am Apogäum ist, sind die Ausdrücke gleich.

John Rennie

Die radiale Accln ist

v^{2} / r

$v^2/r$ . Die Erdbeschleunigung ist

G M / r^{2}

$GM/r^2$ . Wenn sie gleich wären, wäre die Nettokraft Null und das Objekt würde in der gleichen Entfernung von der Erde bleiben, dh auf einer kreisförmigen Umlaufbahn. Am Perigäum

v^{2} / r > G M / r^{2}

$v^2/r > GM/r^2$ Die Nettokraft ist also nach außen gerichtet und der Körper bewegt sich von der Erde weg. Am Höhepunkt

v^{2} / r < G M / r^{2}

$v^2/r < GM/r^2$ Die Nettokraft ist also nach innen und der Körper bewegt sich auf die Erde zu. Deshalb

r

$r$ Änderungen in einer elliptischen Umlaufbahn. Die Beziehung zwischen

v

$v$ Und

r

$r$ ist durch die vis-viva-Gleichung gegeben .

Matheliebhaber

Sie sagen diese Dinge, ohne zu erklären, warum. Ich gebe eine Erklärung, die dem widerspricht, daher würde ich Sie bitten, darauf hinzuweisen, was genau an dem folgenden Argument falsch ist: „Die Umlaufbahn ist im Apogäum tangential zur Mondoberfläche, daher ist die Tangentialgeschwindigkeit gleich der Gesamtgeschwindigkeit . Somit können wir die Zentripetalkraft mit der Gravitationskraft gleichsetzen.“

John Rennie

Nehmen Sie die Erdmasse auf Null (offensichtlich ein Gedankenexperiment), damit die Gravitationskraft Null ist. Das Objekt wird nun die Erde in einer geraden Linie mit konstanter Geschwindigkeit passieren

v

$v$ weil es keine Schwerkraft gibt, die es anzieht. Im Moment der größten Annäherung ist die Tangentialgeschwindigkeit

v

$v$ , also wenn die Entfernung der engsten Annäherung ist

r

$r$ die Radialbeschleunigung ist

v^{2} / r

$v^2/r$ . Aber Moment mal, wir haben gerade gesagt, dass es keine Schwerkraft gibt, also muss das bedeuten

v^{2} / r > G M / r

$v^2/r > GM/r$ Weil

G M / r = 0

$GM/r = 0$ .

Bill N

Wenn die Umlaufbahn elliptisch mit Exzentrizität > 0 ist, ist der Krümmungsradius am Perigäum nicht der Abstand vom Fokus zum Perigäum, also in

v^{2} / r_{?}

$v^2/r_?$ Sie sollten nicht den Radius des Planeten verwenden.

Antworten (1)

Klärung der Verwirrung über die Orbitalmechanik

Die gleichung $v = \sqrt{GM/r}$ gilt nur für eine kreisförmige Umlaufbahn, da sie unter der Annahme abgeleitet wird, dass die Erdbeschleunigung gleich der Beschleunigung zum Zentrum ist. Am Perigäum einer elliptischen Umlaufbahn ist dies nicht der Fall.
@JohnRennie: Es gilt auch für ungleichmäßige Bewegungen, dass die Zentripetalbeschleunigung gilt $v^2/r$ Wo $v$ ist die Tangentialgeschwindigkeit. Am Perigäum "streifen wir nur die Mondoberfläche", sodass die Umlaufbahn die Mondoberfläche tangiert, sodass die Tangentialgeschwindigkeit gleich der Gesamtgeschwindigkeit ist. Was ist falsch an dieser Argumentation?
Ja das stimmt. Aber am Apogäum ist die Zentripetalbeschleunigung nicht gleich der Gravitationsbeschleunigung $GM/r^2$ . Die gleichung $v = \sqrt{GM/r}$ gilt nur, wenn Zentripetal- und Gravitationsbeschleunigung gleich sind.
Worüber redest du. Die Radialkraft ist immer $v^2/r$ Wo $v$ Tangentialgeschwindigkeit ist. Die Radialkraft wird durch die Schwerkraft bereitgestellt. Da die Tangentialgeschwindigkeit wie oben gleich der Gesamtgeschwindigkeit am Apogäum ist, sind die Ausdrücke gleich.
Die radiale Accln ist $v^2/r$ . Die Erdbeschleunigung ist $GM/r^2$ . Wenn sie gleich wären, wäre die Nettokraft Null und das Objekt würde in der gleichen Entfernung von der Erde bleiben, dh auf einer kreisförmigen Umlaufbahn. Am Perigäum $v^2/r > GM/r^2$ Die Nettokraft ist also nach außen gerichtet und der Körper bewegt sich von der Erde weg. Am Höhepunkt $v^2/r < GM/r^2$ Die Nettokraft ist also nach innen und der Körper bewegt sich auf die Erde zu. Deshalb $r$ Änderungen in einer elliptischen Umlaufbahn. Die Beziehung zwischen $v$ Und $r$ ist durch die vis-viva-Gleichung gegeben .
Sie sagen diese Dinge, ohne zu erklären, warum. Ich gebe eine Erklärung, die dem widerspricht, daher würde ich Sie bitten, darauf hinzuweisen, was genau an dem folgenden Argument falsch ist: „Die Umlaufbahn ist im Apogäum tangential zur Mondoberfläche, daher ist die Tangentialgeschwindigkeit gleich der Gesamtgeschwindigkeit . Somit können wir die Zentripetalkraft mit der Gravitationskraft gleichsetzen.“
Nehmen Sie die Erdmasse auf Null (offensichtlich ein Gedankenexperiment), damit die Gravitationskraft Null ist. Das Objekt wird nun die Erde in einer geraden Linie mit konstanter Geschwindigkeit passieren $v$ weil es keine Schwerkraft gibt, die es anzieht. Im Moment der größten Annäherung ist die Tangentialgeschwindigkeit $v$ , also wenn die Entfernung der engsten Annäherung ist $r$ die Radialbeschleunigung ist $v^2/r$ . Aber Moment mal, wir haben gerade gesagt, dass es keine Schwerkraft gibt, also muss das bedeuten $v^2/r > GM/r$ Weil $GM/r = 0$ .
Wenn die Umlaufbahn elliptisch mit Exzentrizität > 0 ist, ist der Krümmungsradius am Perigäum nicht der Abstand vom Fokus zum Perigäum, also in $v^2/r_?$ Sie sollten nicht den Radius des Planeten verwenden.

Nick · Answer 1

Nach der Verbrennung ist die Umlaufbahn nicht mehr kreisförmig, sodass der Radius nicht mehr konstant ist.

Der Verbrennungspunkt wird der Apolun (d) der neuen Umlaufbahn sein. Der Punkt der größten Annäherung, die Perilune (q), befindet sich auf der gegenüberliegenden Seite des Mondes. Die große Halbachse (a) ist der Durchschnitt der Apolunenentfernung und der Perilunenentfernung.

D = R

$d = R$

Q = R_{M Ö Ö N}

$q = r_\rm{moon}$

A = \frac{D + Q}{2} = \frac{R + R_{M Ö Ö N}}{2}

$a = \frac{d+q}{2} = \frac{ R + r_\rm{moon} }{2}$

Beginnend mit der vis-viva-Gleichung:

\frac{G M}{4 R} = \frac{2 G M}{R} - \frac{G M}{A}

$\frac{Gm}{4R} = \frac{2Gm}{R} - \frac{Gm}{a}$

Das Auflösen nach der Apolune-Distanz ergibt

D = R = 7 R_{M Ö Ö N}

$d = R = 7 r_\rm{moon}$

Auch die große Halbachse (a) nach der Verbrennung wird sein:

A = \frac{4}{7} R = 4 R_{M Ö Ö N}

$a = \frac{4}{7} R = 4 r_\rm{moon}$

Klärung der Verwirrung über die Orbitalmechanik

Matheliebhaber

John Rennie

Matheliebhaber

John Rennie

Matheliebhaber

John Rennie

Matheliebhaber

John Rennie

Bill N

Antworten (1)

Nick

Schicken Sie eine Kugel in eine Umlaufbahn um den Mond

Bewegung beschrieben durch a=kx2a=kx2a=\frac{k}{x^2}

Wie leitet man die umgekehrte quadratische Beziehung im Newtonschen Gravitationsgesetz aus den Keplerschen Gesetzen ab?

Arbeiten Sie in kreisenden Bewegungen

Keplers Gesetz und mein Problem

Orbitalmechanik: Wird ein Satellit abstürzen?

In Bezug auf die Objekte im freien Fall in der ISS

Keine stabilen geschlossenen Bahnen für ein Newtonsches Gravitationsfeld in d≠3d≠3d\neq 3 Raumdimensionen

Problem des Keplerschen Gesetzes

In welche Richtung sollte man eine 1 kg schwere einheitliche Kugel werfen, um sie in eine niedrigere Erdumlaufbahn zu bringen? [geschlossen]