Frage zu Ellipsenbahnen

Für zwei Körper, die sich anziehen, verwenden wir die reduzierte Masse und den Abstand zwischen ihnen (r), um die Bewegungsgleichung zu lösen. Das Endergebnis ist unter bestimmten Bedingungen ein elliptischer Obit.

Mein Verständnis ist, dass dieser Obit der Obit der reduzierten Masse (also eines virtuellen Körpers) ist, der sich um einen Punkt (Fokus) dreht, der sich in einem Abstand r von ihm befindet. Ist es richtig?

Wenn in diesem Fall einer der Körper viel schwerer ist als der andere, können wir sagen, dass der schwerere Körper im Fokus steht und der leichtere ihn umkreist. Der Ort der leichteren Masse ist also derselbe wie der Ort (Umlaufbahn) des virtuellen Körpers mit reduzierter Masse. Und das ist das 1. Keplersche Gesetz. Ist mein Verständnis richtig?

Wenn die Massen der beiden Körper vergleichbar sind, haben wir keine direkten Informationen über die Orte der Körper, richtig? Wir wissen nur, wie sich r (Abstand zwischen den beiden Körpern) ändert, aber nicht ihren individuellen Ort im Laborrahmen, richtig? Und Keplers 1. Gesetz gilt nicht mehr (dh nicht um den Fokus rotieren). Ist es richtig? Sind ihre Umlaufbahnen noch elliptisch?

Antworten (2)

Wenn in diesem Fall einer der Körper viel schwerer ist als der andere, können wir sagen, dass der schwerere Körper im Fokus steht und der leichtere ihn umkreist.

Der Begriff der reduzierten Masse schreibt nicht vor, welcher der beiden Körper als feststehend anzusehen ist. Zum Beispiel könnte man die Dinge aus der Perspektive eines sehr massiven Körpers betrachten, der einen ziemlich kleinen Körper umkreist. Zum Beispiel ist an sich nichts falsch daran, die Dinge aus der Perspektive zu betrachten, dass die Sonne die Erde umkreist. (Die Bewegungen der anderen Planeten zu modellieren ist aus dieser geozentrischen Perspektive natürlich etwas heikler.)

Tatsächlich könnte man jeden Punkt entlang der Linie, die die beiden Körper verbindet, als festen Punkt auswählen und am Ende immer noch jeden der beiden Körper um diesen festen Punkt in Form von elliptischen Umlaufbahnen bewegen. Es gibt drei besondere Sehenswürdigkeiten:

  1. Der massivere Körper gilt als Fixpunkt.
    Das ist der Gesichtspunkt, der in unserem Sonnensystem zu den Keplerschen Gesetzen führt.
  2. Der masseärmere Körper gilt als Fixpunkt.
    Dies ist die geozentrische Sichtweise, die aus der Perspektive des Zwei-Körper-Problems gut funktioniert, aber beim n-Körper-Problem die Einbeziehung von Trägheitskräften erfordert.
  3. Als Fixpunkt gilt der Schwerpunkt der beiden Körper.
    Bei der Erweiterung auf das n-Körper-Problem ist dies der Rahmen, in dem die Bewegungsgleichungen ihre einfachste Form annehmen, und deshalb verwenden JPL, die Russische Akademie und das Pariser Observatorium alle diesen Rahmen, wenn sie das Verhalten des modellieren Sonnensystem.

Wenn die Massen der beiden Körper vergleichbar sind, haben wir keine direkten Informationen über die Orte der Körper, richtig?

Welchen Punkt man als Brennpunkt der beiden Ellipsen betrachtet, ist, wie oben erwähnt, etwas willkürlich. Es gibt jedoch drei Punkte, die auffallen.

Danke David! Ich möchte sichergehen, dass ich es richtig verstanden habe. Sie meinen also, jeder Punkt auf der Linie, die die beiden Körper verbindet, kann als Fixpunkt (und Fokus) der elliptischen Ortskurven der beiden Körper gemacht werden? Und nur der Massenmittelpunkt braucht die "Beschwörung von Trägheitskräften" nicht? Weil diese Punkte in beschleunigenden Frames liegen?
Entschuldigung, noch eine Frage. Wenn wir den Massenmittelpunkt als Fixpunkt nehmen, aber M nicht viel größer als m ist, können wir die aus der reduzierten Masse abgeleitete Umlaufbahn immer noch nicht direkt verwenden, um die Orte von m zu beschreiben, richtig? Danke!

Mein Verständnis ist, dass dieser Obit der Obit der reduzierten Masse (also eines virtuellen Körpers) ist, der sich um einen Punkt (Fokus) dreht, der sich in einem Abstand r von ihm befindet. Ist es richtig?

Ja, das ist richtig.

Wenn in diesem Fall einer der Körper viel schwerer ist als der andere, können wir sagen, dass der schwerere Körper im Fokus steht und der leichtere ihn umkreist.

Das ist eine gültige Annäherung, denn Sie haben

μ = M M M + M → M M M = M .
in der Grenze von M → ∞ .

Wenn die Massen der beiden Körper vergleichbar sind, haben wir keine direkten Informationen über die Orte der Körper, richtig?

Ein (schlechtes) Beispiel wäre das Positronium, wo sich ein Positron und ein Elektron umkreisen. Sie haben genau die gleiche Masse. Allerdings kann dieser Teil der Physik nicht sinnvoll mit klassischer Physik beschrieben werden, man braucht die Quantenmechanik, um die richtigen Energieniveaus zu erhalten. Und selbst dann kann man die Vernichtung nicht beschreiben, dafür braucht man die Quantenfeldtheorie.

Nehmen Sie also, wie im Kommentar unten vorgeschlagen, ein Doppelsternsystem, bei dem beide Sterne die gleiche Masse haben. Aber die Masse sollte noch so gering sein, dass die Emission von Gravitationswellen vernachlässigbar ist, sonst kriegen wir mit diesem Beispiel wieder Ärger.

Wenn wir eines der Systeme verwenden und nur die klassische Bewegung betrachten, können wir Ihre nächste Frage untersuchen:

Und Keplers 1. Gesetz gilt nicht mehr (dh nicht um den Fokus rotieren). Ist es richtig?

Nehmen Sie das Beispiel mit gleichen Massen und stellen Sie es so auf, dass beide Teilchen eine Kreisbahn haben. Sie bewegen sich beide auf demselben geschlossenen Kreis. Da beide Moden nicht in der Mitte des Kreises liegen, wo beide Orte zusammenfallen. Aus diesem Gegenbeispiel schließe ich, dass Keplers erstes Gesetz mit der Approximation gemacht wird.

In dem relativen Rahmen, in dem man die reduzierte Masse verwendet, gilt dies jedoch natürlich, da die reduzierte Masse den Mittelpunkt der Umlaufbahn umkreist.

Sind ihre Umlaufbahnen noch elliptisch?

Ja, die Bahnen sind immer Kegelschnitte. Dies versagt nur, wenn die sich umkreisenden Körper nicht durch Punktladungen angenähert werden können.

Sie können die Newtonsche Mechanik nicht wirklich auf Positronium anwenden. Ein viel besseres Beispiel wäre ein Doppelstern oder ein System wie Pluto und Charon.
Tatsächlich benötigt man dafür QM, um die Orbitale zu erhalten, und QFT (QED), um die Vernichtung zu erhalten. Doppelsterne könnten aufgrund von Gravitationswellen problematisch sein. Ich habe die Bedenken zur Frage hinzugefügt.
Die Wirkung von Gravitationswellen auf Doppelsterne ist fast völlig vernachlässigbar. Wir haben den Orbitalzerfall nur für ein Doppelsternsystem gemessen, und sie werden in absehbarer Zeit nicht kollidieren.
Danke euch allen! Kann ich sagen, dass alle Bahnen Kegelabschnitte sind, aber nur die Bahnen von m mit M>>m (für 2 Körper) können unter Verwendung eines Systems mit reduzierter Masse abgeleitet werden? Wenn ja, können Sie mir mitteilen, wie Menschen zB die Umlaufbahnen des Doppelsternsystems ableiten (ohne Gravitationswellen und Relativitätstheorie)? Habt ihr gute Bücher zu empfehlen?
Die Bahnen sind immer Kegelschnitte im relativen Koordinatensystem. Dort kannst du das System lösen und dann mit die Koordinaten wieder zurück transformieren X 1 = R + R / 2 Und X 2 = R − R / 2 Wo X 1 Und X 2 sind die Koordinaten der beiden Massen, R ist die Position des Massenmittelpunkts und R ist der relative Verschiebungsvektor.
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